Les 2 — De RL-serieketen
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Leerplandoel
- LPD 17 / 39
- Onderdeel
- 2 van 8RLC-blok
Meet een spoel door met een gewone ohmmeter en je leest bijvoorbeeld 0,5 Ω af. Sluit diezelfde spoel aan op 3 kHz en deel spanning door stroom: nu krijg je 8 Ω. Twee metingen, twee antwoorden, allebei correct. Deze les legt uit hoe dat kan — en geeft je de methode waarmee je vanaf hier élke schakeling van dit blok oplost.
- met de stroomwet van Kirchhoff verantwoorden waarom de stroom de referentievector is in een serieketen;
- het spanningsvectordiagram in vier stappen tekenen en er de spanningsdriehoek uit afleiden;
- de impedantiedriehoek afleiden uit de spanningsdriehoek, en verantwoorden waarom beide gelijkvormig zijn;
- Z, I, φ, UR en UL berekenen op 3 beduidende cijfers, met eenheden;
- de goniometrische formules aflezen uit de driehoek in plaats van ze te memoriseren;
- verklaren waarom elke reële spoel zich als een RL-serieketen gedraagt.
01Waarom de stroom de referentie is
Kijk eerst naar het schema en pas daarna naar de formules. In deze kring is er geen enkel knooppunt. De stroomwet van Kirchhoff zegt dan onmiddellijk: door de weerstand en door de spoel vloeit exact dezelfde stroom, op elk ogenblik.
De spanningswet van Kirchhoff geldt ook nog steeds, maar — zoals in les 1 — alleen voor ogenblikkelijke waarden:
De tweede regel is fout omdat uR en uL hun maximum niet gelijktijdig bereiken. Op het ogenblik dat de spanning over de weerstand haar top bereikt, staat de spanning over de spoel precies op nul. Optellen mag dus alleen vectorieel.
02Het spanningsvectordiagram in vier stappen
Deze vier stappen zijn identiek voor élke schakeling in dit blok. Leer ze als een routine, dan hoef je in les 3 en 4 niets nieuws meer te bedenken.
Stap 1. Teken de gemeenschappelijke grootheid horizontaal, punt naar rechts. In een serieketen is dat de stroom I.
Stap 2. Teken UR. De weerstand geeft geen faseverschuiving, dus UR ligt op de stroomas: hoek 0°.
Stap 3. Teken UL vanaf de kop van UR, loodrecht naar boven: hoek + 90° ten opzichte van de stroom.
Stap 4. Verbind de staart van UR met de kop van UL. Die resultante is de bronspanning U.
Waarom teken je UL vanaf de kop van UR en niet vanaf de oorsprong? Beide leveren dezelfde resultante op, maar alleen de kop-staartmethode maakt de driehoek zichtbaar. En het is precies die driehoek waar je straks alles uit afleest.
De spanningsdriehoek
De drie spanningen vormen een rechthoekige driehoek, met U als schuine zijde:
Merk op dat U kleiner is dan UR + UL, maar altijd groter dan elk van beide afzonderlijk. Dat is de reden waarom de voltmeter in les 1 geen 70 V maar 50 V aanwees.
03Van spanningsdriehoek naar impedantiedriehoek
Dit is de kern van de les. Elke zijde van de spanningsdriehoek is een spanning, en elke spanning is het product van een tegenwerking met dezelfde stroom I. Deel je dus elke zijde door I, dan blijft de vorm van de driehoek exact behouden en verandert alleen de eenheid — van volt naar ohm.
Omdat de driehoeken gelijkvormig zijn, is de hoek φ in alle drie precies dezelfde. Je mag dus vrij wisselen tussen spanningen, weerstanden en vermogens — je rekent altijd in dezelfde driehoek.
Definitie. De impedantie is de totale tegenwerking die een wisselstroomkring biedt. Anders dan een weerstand heeft ze niet alleen een grootte in ohm, maar ook een fasehoek.
De fout die iedereen één keer maakt. Z = R + XL. Dat klopt nooit. Teken eerst de driehoek en je maakt deze fout niet meer — een schuine zijde is nu eenmaal geen som van de twee rechthoekszijden.
04De stroom en de goniometrische formules
De wet van Ohm blijft gelden, alleen staat er nu Z waar vroeger R stond:
De hoek lees je met de gewone goniometrie uit de driehoek af. Elke formule bestaat in twee gelijkwaardige vormen, één met spanningen en één met weerstanden — kies wat je gegeven hebt:
| Situatie | φ | Gedrag van de kring |
|---|---|---|
| R ≫ XL | nadert 0° | bijna een zuivere weerstand |
| R = XL | 45° | evenwicht; Z = R·√2 |
| XL ≫ R | nadert 90° | bijna een zuivere spoel |
In een RL-serieketen ligt φ altijd tussen 0° en 90°, nooit erbuiten: XL kan immers niet negatief worden. Krijg je een negatieve hoek, dan zit er een tekenfout in je berekening.
05Invloed van de frequentie
| f → 0 | f zeer groot | |
|---|---|---|
| XL | → 0 Ω | → ∞ |
| Z | → R | → XL, groeit evenredig met f |
| φ | → 0° | → 90° |
| I bij vaste U | maximaal (U/R) | → 0 |
Een RL-serieketen laat lage frequenties dus vlot door en remt hoge frequenties af. Dat is precies wat je wil van de laagdoorlaatfilter vóór een woofer. Het punt waar XL = R noemen we het overgangspunt: daar is Z = R·√2 en zakt de stroom tot ongeveer 71 % van haar maximum. In de audiotechniek heet dat het −3 dB-punt.
06De complexe schrijfwijze
In plaats van elke keer een driehoek te tekenen, kun je de impedantie ook meteen als complex getal schrijven. Het reële deel is de horizontale zijde van je impedantiedriehoek, het imaginaire deel de verticale:
We gebruiken altijd j en nooit i, omdat i al de ogenblikkelijke stroom aanduidt. Voor het voorbeeld R = 30 Ω en XL = 40 Ω:
Het complexe vlak is je vectordiagram; alleen de namen verschillen. Wie de complexe vorm los van de tekening aanleert, loopt vast zodra de parallelketen aan bod komt.
07De reële spoel
Een echte spoel bestaat uit koperdraad, en koperdraad heeft weerstand. Elke reële spoel is daarom in werkelijkheid een ideale spoel in serie met een kleine weerstand — dus een RL-serieketen. Daar komen de twee metingen uit de inleiding vandaan.
- De ohmmeter meet met gelijkspanning. Bij f = 0 is XL = 0, dus het toestel ziet alleen RL: enkele tienden van een ohm.
- Op wisselspanning komt XL erbij. Je meet dan Z, de schuine zijde, en die is altijd groter dan RL.
Voor de spoel in je luidsprekerwissel is die draadweerstand geen detail. Ze zit permanent in serie met de woofer en zet vermogen om in warmte, ook in het basgebied waar de spoel juist niets mocht doen. Dikkere koperdraad verlaagt RL bij dezelfde L — en dat is de reden waarom een degelijke wisselspoel meer kost dan je zou verwachten voor een stuk opgerold koper.
08Samenvattend schema
| R | L | C | RL-serie | |
|---|---|---|---|---|
| Tegenwerking [Ω] | R | XL = 2πfL | XC = 1/(2πfC) | Z = √(R² + XL²) |
| Wet van Ohm | I = U/R | I = U/XL | I = U/XC | I = U/Z |
| Fasehoek φ | 0° | + 90° | − 90° | 0° < φ < 90°, tan φ = XL/R |
| Stroom t.o.v. U | in fase | 90° na | 90° voor | φ na |
| Bij stijgende f | onveranderd | stijgt | daalt | Z stijgt, φ stijgt |
| Werkelijk vermogen | U·I | 0 W | 0 W | U·I·cos φ = I²R |
09Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Teken bij elke oefening ook het vectordiagram; dat is geen extraatje maar de controle op je berekening.
Basis
1. Een RL-serieketen heeft R = 40 Ω en XL = 30 Ω. Bereken Z en φ.
Toon de uitwerking
2. Een weerstand van 220 Ω staat in serie met een spoel van 0,50 H op 50 Hz. Bereken XL en Z.
Toon de uitwerking
3. Van een RL-serieketen is Z = 80 Ω en R = 48 Ω. Bereken XL en φ.
Toon de uitwerking
Pythagoras werkt in beide richtingen: uit de schuine zijde en één rechthoekszijde haal je de andere.
4. Een RL-serieketen op 230 V heeft Z = 92 Ω en cos φ = 0,80. Bereken I, R en XL.
Toon de uitwerking
Controle: √(73,6² + 55,2²) = 92,0 Ω ✓
5. In een RL-serieketen meet je UR = 60 V en UL = 80 V. Bereken de bronspanning en de fasehoek.
Toon de uitwerking
De som 60 + 80 = 140 V bestaat nergens in deze kring. Alleen de vectoriële som is fysisch.
6. Verklaar zonder te rekenen waarom Z in een RL-serieketen altijd groter is dan R én groter dan XL, maar altijd kleiner dan R + XL.
Toon de uitwerking
Z is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan R en XL de rechthoekszijden zijn. In elke rechthoekige driehoek is de schuine zijde de langste zijde, dus Z > R en Z > XL.
Tegelijk zegt de driehoeksongelijkheid dat één zijde nooit groter kan zijn dan de som van de twee andere, dus Z < R + XL. Alleen als één van beide nul zou zijn, vallen de grenzen samen.
Verdieping
7. Een spoel met een draadweerstand van 15 Ω en L = 80 mH staat op 230 V / 50 Hz. Bereken XL, Z, I, φ, UR, UL, P, Q en S.
Toon de uitwerking
Rekenen met I²·R in plaats van U·I·cos φ scheelt een stap en vermijdt afrondingsfouten in de cosinus.
8. Bij welke frequentie bedraagt de fasehoek van een RL-serieketen met R = 100 Ω en L = 50 mH precies 45°?
Toon de uitwerking
Bij die frequentie is Z = R·√2 = 141 Ω en zakt de stroom tot 1/√2 = 71 % van haar waarde bij zeer lage frequentie. Dit is het overgangspunt of −3 dB-punt van de filter.
9. Teken op schaal het spanningsvectordiagram voor R = 60 Ω, XL = 80 Ω en I = 2,0 A. Lees U en φ grafisch af en controleer met de berekening.
Toon de uitwerking
Kies een schaal van bijvoorbeeld 1 cm = 40 V. Je tekent dan 3,0 cm horizontaal en 4,0 cm verticaal, en meet 5,0 cm als resultante. Wie de klassieke 3-4-5-driehoek herkent, weet het antwoord al vóór hij rekent.
10. In een RL-serieketen verdubbel je de frequentie en houd je de bronspanning gelijk. Wat gebeurt er met R, XL, Z, I en φ? Beredeneer zonder getallen.
Toon de uitwerking
- R blijft gelijk: een weerstand is niet frequentieafhankelijk.
- XL verdubbelt, want XL = 2πfL is recht evenredig met f.
- Z stijgt, maar minder dan het dubbele: alleen de verticale zijde van de driehoek verdubbelt, de horizontale niet.
- I daalt, want I = U/Z bij gelijke U.
- φ stijgt, want tan φ = XL/R en de teller verdubbelt terwijl de noemer gelijk blijft.
Grafisch: de driehoek wordt steiler zonder dat de basis verandert.
Inzicht
11. Van een spoel meet je bij 50 Hz een impedantie van 40 Ω en bij 100 Hz een impedantie van 70 Ω. Bereken de draadweerstand R en de zelfinductie L.
Toon de uitwerking
Controle bij 100 Hz: XL = 66,3 Ω, dus Z = √(22,4² + 66,3²) = 70,0 Ω ✓. De truc is telkens dezelfde: twee metingen bij verschillende frequenties leveren twee vergelijkingen, en het aftrekken elimineert de onbekende R².
12. Toon aan dat de spanningsdriehoek, de impedantiedriehoek en de vermogensdriehoek gelijkvormig zijn. Leid daaruit af dat P = I² · R.
Toon de uitwerking
De spanningsdriehoek heeft zijden UR, UL en U. Deel je elke zijde door dezelfde stroom I, dan krijg je R, XL en Z. Delen door een constante verandert de lengteverhoudingen niet, dus de hoeken blijven behouden: de driehoeken zijn gelijkvormig. Vermenigvuldig je de spanningsdriehoek in plaats daarvan met I, dan krijg je P, Q en S — opnieuw gelijkvormig.
De Z valt weg. Dat is fysisch precies wat je verwacht: het werkelijk vermogen zit volledig in de weerstand, en de spoel speelt er geen rol in.
13. Je wil de stroom naar een woofer van 8,0 Ω bij hoge frequenties afremmen. Er zijn twee mogelijkheden: een weerstand van 3,5 Ω in serie, of de spoel van 0,424 mH uit les 1. Vergelijk beide bij 100 Hz en bij 3,0 kHz, met een bronspanning van 8,0 V. Welke kies je, en waarom?
Toon de uitwerking
De weerstand dempt overal evenveel: ook de bas zakt van 8,0 W naar 3,9 W, en 1,7 W verdwijnt als warmte. De spoel dempt alleen waar je het wil: bij 100 Hz laat ze de volle 8 W door en verbruikt ze zelf niets, terwijl ze bij 3 kHz dezelfde demping geeft als de weerstand.
Besluit: je kiest de spoel. Een reactantie filtert zonder te verspillen, een weerstand filtert door te verspillen. Dat is het hele bestaansrecht van spoelen en condensatoren in filters.
Nuance: een echte spoel heeft ook draadweerstand, hier ongeveer 0,45 Ω. Dat maakt haar niet volledig verliesvrij — maar 0,45 Ω is nog altijd bijna acht keer minder dan de 3,5 Ω van de weerstand.
Video en simulatie
- PhET — Circuit Construction Kit: AC, Virtual Lab. Bouw R en L in serie. Meet met de voltmeter over R, over L en over beide samen, en vergelijk de som met de totale meting.
- Vectordiagrammen uitgelegd — TU Delft, Nederlands.
- Inductieve reactantie — TU Delft, Nederlands.
- Het signaal naar de juiste luidspreker sturen — TU Delft, Nederlands.
- Interactief tekstboek Elektriciteit en Magnetisme, hoofdstuk 9 — TU Delft, CC BY-SA.
Vooruitblik op les 3
Volgende les vervangen we de spoel door een condensator. De methode blijft letterlijk dezelfde — dezelfde vier tekenstappen, dezelfde driehoek, dezelfde goniometrie. Eén ding verandert: UC wijst naar beneden in plaats van naar boven, en dus wordt φ negatief. De RC-serieketen is het spiegelbeeld van wat je vandaag geleerd hebt, en levert meteen de hoogdoorlaatfilter op die vóór je tweeter staat.