Les 4 — De RLC-serieketen

Cursus TWE — Elektriciteit Les 4 van 8

Les 4 — De RLC-serieketen

Vak: Elektriciteit
Klas: 5TWE
Leerplandoel: LPD 17 / 39
Onderdeel: 4 van 8RLC-blok

Sluit een spoel, een condensator en een weerstand in serie aan op een bron van 2,0 volt, stel de juiste frequentie in en meet de spanning over de spoel: je leest 20 volt af. Tien keer meer dan de bron levert. Dat is geen meetfout en het schendt de wet van Kirchhoff niet — maar je moet deze les gezien hebben om te begrijpen waarom.

Na deze les kun je

het spanningsvectordiagram van een RLC-serieketen tekenen voor de drie mogelijke gevallen;
Z, I, φ en de drie deelspanningen berekenen, met eenheden en het juiste teken van φ;
uit X_L en X_C bepalen of een kring inductief, capacitief of resistief is;
de resonantievoorwaarde X_L = X_C afleiden en daaruit f_r = 1/(2π√(LC));
verklaren waarom U_L en U_C groter kunnen zijn dan de bronspanning;
de RLC-serieketen herkennen als banddoorlaatfilter en toepassen op de middentoner van een driewegbox.

01Twee vectoren die elkaar tegenwerken

In les 2 wees de reactieve vector omhoog, in les 3 omlaag. Zet je L en C samen in één kring, dan staan U_L en U_C dus 180° uit fase: recht tegenover elkaar. En vectoren in tegenfase tel je niet op — je trekt ze van elkaar af.

Fig. 01R, L en C in serie op een wisselspanningsbron. Er is geen knooppunt, dus de stroom is opnieuw de gemeenschappelijke grootheid.

netto reactantie : X = X_L − X_C

Alles wat je in de vorige twee lessen leerde blijft gelden; je vervangt gewoon de ene reactantie door dit verschil. De vier tekenstappen krijgen er één tussenstap bij: teken U_L vanaf de kop van U_R naar boven, en U_C daarna vanaf de kop van U_L naar beneden. Wat er tussen oorsprong en eindpunt overblijft, is de netto reactieve spanning.

02De drie gevallen

Fig. 02Dezelfde kring, drie frequenties. Links overweegt de spoel, rechts de condensator, in het midden heffen ze elkaar volledig op.

Voorwaarde	Karakter	φ	Z	Stroom t.o.v. U
X_L > X_C	inductief	positief	> R	ijlt na
X_L = X_C	resistief (resonantie)	0°	= R, minimaal	in fase
X_L < X_C	capacitief	negatief	> R	ijlt voor

Let op: het karakter van een kring is geen eigenschap van de componenten maar van de frequentie. Eén en dezelfde RLC-keten is capacitief onder f_r en inductief erboven.

03Spannings- en impedantiedriehoek

De spanningsdriehoek heeft nu als verticale zijde het verschil U_L − U_C. Deel weer elke zijde door de gemeenschappelijke stroom I en je krijgt de impedantiedriehoek — gelijkvormig, zoals altijd.

Fig. 03De impedantiedriehoek van een inductieve RLC-keten. Is XC groter dan XL, dan klapt de verticale zijde naar beneden en wordt φ negatief.

U = √(U_R² + (U_L − U_C)²) Z = √(R² + (X_L − X_C)²) [Ω] I = U / Z

Twee fouten die hier altijd opduiken. De eerste is X_L en X_C optellen in plaats van aftrekken. De tweede is kwadrateren vóór het aftrekken: √(R² + X_L² − X_C²) is fout. Eerst het verschil maken, dan pas kwadrateren. Noteer de haakjes altijd expliciet.

04De goniometrische formules

cos φ = U_R / U = R / Z sin φ = (U_L − U_C) / U = (X_L − X_C) / Z tan φ = (U_L − U_C) / U_R = (X_L − X_C) / R

Het teken van φ volgt rechtstreeks uit het teken van X_L − X_C. Reken je een positieve hoek uit terwijl X_C de grootste was, dan zit er een fout in je berekening.

05Serieresonantie

Er is precies één frequentie waarbij X_L en X_C even groot zijn. Daar heffen ze elkaar volledig op en blijft er van de hele reactantie niets over. Dat verschijnsel heet serieresonantie.

De resonantiefrequentie

X_L = X_C 2 · π · f_r · L = 1 / (2 · π · f_r · C) (2 · π · f_r)² = 1 / (L · C) 2 · π · f_r = 1 / √(L · C)

f_r = 1 / (2 · π · √(L · C)) [Hz] L in henry (H), C in farad (F)

Merk op wat er niet in deze formule staat: R. De weerstand bepaalt niet wáár de resonantie ligt, alleen hoe scherp ze is. Twee kringen met dezelfde L en C resoneren op dezelfde frequentie, of er nu 1 Ω of 100 Ω in staat.

Wat er bij resonantie gebeurt

X = X_L − X_C = 0 Z = √(R² + 0²) = R ← de kleinst mogelijke impedantie I = U / R ← de grootst mogelijke stroom φ = 0° ← de kring gedraagt zich als zuivere weerstand

Bij resonantie is de kring dus, van buitenaf gezien, niet van een gewone weerstand te onderscheiden. Spoel en condensator zijn er wel degelijk — ze wisselen energie uit met elkáár in plaats van met de bron.

06Overspanning — 20 volt uit een bron van 2 volt

Hier komen we terug bij de meting uit de inleiding. Bij resonantie zijn U_L en U_C even groot en in tegenfase: opgeteld leveren ze nul, en dus klopt de spanningswet van Kirchhoff perfect. Maar elk afzonderlijk zijn ze X · I groot, en dat kan een veelvoud van de bronspanning zijn:

bij resonantie : U_L / U = (X_L · I) / (R · I) = X_L / R

Die verhouding heet de overspanningsfactor. Voor de opstelling uit de inleiding — R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 1,0 µF — ligt f_r op 1,59 kHz en is X_L = 100 Ω. De overspanningsfactor bedraagt dus 100/10 = 10, en een bron van 2,0 V levert 20 V over de spoel.

Kirchhoff wordt niet geschonden. De spanningswet geldt voor ogenblikkelijke waarden, en op elk ogenblik is u_L = − u_C: ze heffen elkaar exact op. Alleen de effectieve waarden mag je niet zomaar optellen — precies dezelfde denkfout als in les 1, nu in haar meest spectaculaire vorm.

In een installatie is dit geen curiositeit maar een reëel risico. Isolatie, condensatoren en meettoestellen zijn gedimensioneerd op de netspanning, niet op een veelvoud ervan. Een ongewild resonerende kring — bijvoorbeeld een compensatiecondensator samen met de zelfinductie van een lange kabel — kan daardoor componenten vernielen.

07Invloed van de frequentie

Fig. 04De impedantie zakt naar een minimum bij fr en stijgt er aan beide kanten weer van weg. De fasehoek springt van bijna −90° naar bijna +90°, en gaat onderweg door nul.

Fig. 05Dezelfde kring met twee verschillende weerstanden. Een kleine R geeft een spitse, selectieve piek; een grote R vlakt de kromme af. De resonantiefrequentie zelf verschuift niet.

Een kleine weerstand levert een scherpe piek: de kring reageert dan sterk op één frequentie en nauwelijks op de andere. Dat noemen we selectiviteit, en het is precies wat je nodig hebt in een radio-afstemkring. Een grote weerstand vlakt de kromme af: de kring laat dan een bredere band door.

08De complexe schrijfwijze

TWE verplicht onderdeel van elke oplossing.

In complexe vorm tel je de drie impedanties gewoon op, en het aftrekken gebeurt vanzelf via het teken van j:

Z = R + j·X_L − j·X_C = R + j·(X_L − X_C) + j → inductief − j → capacitief j-term nul → resonantie

De resonantievoorwaarde wordt zo wel heel elegant: het imaginaire deel van Z is nul. Voor R = 30 Ω, X_L = 80 Ω en X_C = 40 Ω krijg je Z = 30 + j·40 Ω = 50 ∠ 53,1° Ω. Het teken van de j-term is meteen je snelste controle: klopt het met wat je verwachtte op basis van de frequentie?

09De banddoorlaatfilter

De tweeter kreeg een condensator, de woofer een spoel. De middentoner moet allebei de uiteinden kwijt: geen bas én geen hoog. Zet daarom een condensator én een spoel in serie met de luidspreker — en dat is exact de RLC-serieketen van deze les.

Fig. 06De volledige driewegwissel. Hoogdoorlaat voor de tweeter, banddoorlaat voor de middentoner, laagdoorlaat voor de woofer.

De redenering volgt rechtstreeks uit de drie gevallen:

Lage frequentie: X_C is groot, Z is groot, er vloeit weinig stroom. De bas wordt tegengehouden.
Hoge frequentie: X_L is groot, Z is groot, opnieuw weinig stroom. Het hoog wordt tegengehouden.
Rond f_r: beide heffen elkaar op, Z zakt tot de 8 Ω van de luidspreker zelf, en de middentoner krijgt het volle signaal.

Fig. 07Een middentoner van 8,0 Ω met C = 39,8 µF en L = 0,424 mH. Het filter laat een band rond 1,2 kHz door — precies het gebied waarin stemmen zitten.

Een elegant verband. De onderste kantelfrequentie wordt door de condensator bepaald (1/(2πRC) = 500 Hz), de bovenste door de spoel (R/(2πL) = 3,0 kHz). De resonantiefrequentie ligt op √(500 · 3000) = 1225 Hz: het meetkundig gemiddelde van beide. Dat is geen toeval — je bewijst het in oefening 13.

10Samenvattend schema

	R	L	C	RL	RC	RLC
Tegenwerking [Ω]	R	X_L	X_C	√(R²+X_L²)	√(R²+X_C²)	√(R²+(X_L−X_C)²)
Fasehoek φ	0°	+90°	−90°	0 … +90°	0 … −90°	−90° … +90°
Stroom t.o.v. U	in fase	90° na	90° voor	φ na	φ voor	na, voor of in fase
Bij stijgende f	gelijk	X_L stijgt	X_C daalt	Z stijgt	Z daalt	Z daalt, dan stijgt
Als filter	—	—	—	laagdoorlaat	hoogdoorlaat	banddoorlaat
Complexe vorm	R	+j·X_L	−j·X_C	R+j·X_L	R−j·X_C	R+j·(X_L−X_C)
Bijzonderheid	—	—	—	—	—	resonantie bij X_L=X_C

11Oefeningen

Bepaal bij elke oefening éérst of de kring inductief of capacitief is. Dat kost tien seconden en behoedt je voor de helft van de mogelijke fouten.

Basis

1. Een RLC-serieketen heeft R = 30 Ω, X_L = 80 Ω en X_C = 40 Ω. Bereken Z en φ, en zeg of de kring inductief of capacitief is.

Toon de uitwerking

X = X_L − X_C = 80 − 40 = + 40 Ω → inductief Z = √(30² + 40²) = 50,0 Ω φ = + arctan(40 / 30) = + 53,1°

2. Een RLC-serieketen heeft R = 40 Ω, X_L = 30 Ω en X_C = 60 Ω. Bereken Z en φ.

Toon de uitwerking

X = 30 − 60 = − 30 Ω → capacitief Z = √(40² + 30²) = 50,0 Ω φ = − arctan(30 / 40) = − 36,9°

Dezelfde Z als in oefening 1, maar een heel ander gedrag. Z alleen zegt dus niets over het karakter van een kring — daarvoor moet je naar het teken van X kijken.

3. In een RLC-serieketen meet je U_R = 80 V, U_L = 150 V en U_C = 90 V. Bereken de bronspanning en de fasehoek.

Toon de uitwerking

U_L − U_C = 150 − 90 = + 60 V U = √(80² + 60²) = √10 000 = 100 V φ = + arctan(60 / 80) = + 36,9°

De drie deelspanningen tellen op tot 320 V, terwijl de bron er 100 levert. Wie dat vreemd vindt, moet §6 nog eens lezen.

4. Een spoel van 100 mH en een condensator van 10 µF staan in serie op 50 Hz. Bereken X_L en X_C, en bepaal het karakter van de kring bij die frequentie.

Toon de uitwerking

X_L = 2 · π · 50 · 0,100 = 31,4 Ω X_C = 1 / (2 · π · 50 · 10·10⁻⁶) = 318 Ω X = 31,4 − 318 = − 287 Ω → sterk capacitief

Ter controle: fr = 1/(2π√(0,100 · 10·10⁻⁶)) = 159 Hz. We zitten met 50 Hz ruim onder de resonantie, en daar overweegt inderdaad de condensator.

5. Bereken de resonantiefrequentie van een serieketen met L = 50 mH en C = 2,0 µF.

Toon de uitwerking

f_r = 1 / (2 · π · √(L · C)) = 1 / (2 · π · √(0,050 · 2,0·10⁻⁶)) = 1 / (2 · π · √(1,0·10⁻⁷)) = 503 Hz

6. Een RL-serieketen heeft R = 20 Ω en X_L = 50 Ω. Je schakelt er een condensator met X_C = 30 Ω bij in serie. Wordt Z groter of kleiner? En kan Z ooit kleiner worden dan R?

Toon de uitwerking

zonder C : Z = √(20² + 50²) = 53,9 Ω met C : X = 50 − 30 = 20 Ω Z = √(20² + 20²) = 28,3 Ω

Z wordt dus kleiner: de condensator neemt een deel van de inductieve reactantie weg. Maar Z = √(R² + X²) kan nooit kleiner worden dan R, want een kwadraat is nooit negatief. De ondergrens R wordt precies bereikt bij resonantie, wanneer X = 0.

Verdieping

7. Een weerstand van 12 Ω, een spoel van 60 mH en een condensator van 40 µF staan in serie op 230 V / 50 Hz. Bereken X_L, X_C, Z, I, φ en de drie deelspanningen. Bereken ook de resonantiefrequentie.

Toon de uitwerking

X_L = 2 · π · 50 · 0,060 = 18,9 Ω X_C = 1 / (2 · π · 50 · 40·10⁻⁶) = 79,6 Ω X = 18,9 − 79,6 = − 60,7 Ω → capacitief Z = √(12² + 60,7²) = 61,9 Ω I = 230 / 61,9 = 3,72 A φ = − arctan(60,7 / 12) = − 78,8° U_R = 12 · 3,72 = 44,6 V U_L = 18,9 · 3,72 = 70,1 V U_C = 79,6 · 3,72 = 296 V controle : √(44,6² + (70,1 − 296)²) = 230 V ✓ f_r = 1 / (2π√(0,060 · 40·10⁻⁶)) = 103 Hz

UC is met 296 V al groter dan de bronspanning, en we zitten nog niet eens in resonantie. Bij 103 Hz zou het veel erger worden.

8. Welke capaciteit moet je in serie met een spoel van 0,25 H plaatsen om resonantie te krijgen bij de netfrequentie van 50 Hz?

Toon de uitwerking

f_r = 1 / (2π√(LC)) → C = 1 / ((2π f_r)² · L) C = 1 / ((2 · π · 50)² · 0,25) = 1 / (98 696 · 0,25) = 4,05 · 10⁻⁵ F = 40,5 µF

9. Een RLC-serieketen met R = 5,0 Ω is in resonantie op 230 V; op die frequentie is X_L = X_C = 150 Ω. Bereken I, U_L en U_C. Wat valt op?

Toon de uitwerking

bij resonantie : Z = R = 5,0 Ω I = 230 / 5,0 = 46,0 A U_L = 150 · 46,0 = 6900 V = 6,90 kV U_C = 150 · 46,0 = 6900 V = 6,90 kV overspanningsfactor : X_L/R = 150/5,0 = 30

Uit een bron van 230 V staat er bijna 7 kV over de spoel én over de condensator. Ze heffen elkaar op, dus de bron ziet alleen de 5 Ω — maar de componenten zelf ondergaan die 6,9 kV wel degelijk.

Ook de stroom van 46 A is een waarschuwing: bij serieresonantie is er praktisch niets meer dat de stroom begrenst behalve R. Een kring als deze zou je nooit ongelimiteerd op het net aansluiten.

10. Een RLC-serieketen werkt op een frequentie onder f_r. Je verhoogt de frequentie geleidelijk tot boven f_r. Beschrijf wat er met X_L, X_C, Z, I en φ gebeurt.

Toon de uitwerking

X_L stijgt voortdurend, X_C daalt voortdurend.
Onder f_r overweegt X_C: de kring is capacitief, φ is negatief. Naarmate f stijgt wordt het verschil kleiner, dus Z daalt en I stijgt.
Op f_r is X = 0: Z is minimaal en gelijk aan R, I is maximaal, φ = 0°.
Boven f_r overweegt X_L: de kring wordt inductief, φ wordt positief, Z stijgt weer en I daalt.

De fasehoek doorloopt dus het hele bereik van bijna −90° tot bijna +90°, en passeert onderweg exact één keer door nul.

Inzicht

11. Leid de formule voor de resonantiefrequentie af uit de voorwaarde X_L = X_C. Toon vervolgens aan dat Z bij die frequentie werkelijk een minimum bereikt en niet zomaar een willekeurige waarde.

Toon de uitwerking

2πf_rL = 1 / (2πf_rC) (2πf_r)² · L · C = 1 (2πf_r)² = 1 / (LC) 2πf_r = 1 / √(LC) f_r = 1 / (2π√(LC))

Dat Z daar minimaal is, volgt uit de vorm van de formule zelf:

Z = √(R² + X²) met X = X_L − X_C

R ligt vast, dus Z hangt alleen van X af. Omdat X² nooit negatief kan zijn, is Z het kleinst wanneer X² zijn kleinst mogelijke waarde aanneemt, en dat is nul. Dan blijft Z = √(R²) = R. Er is dus precies één minimum, en het valt samen met X_L = X_C.

Merk op dat R niet in de formule voor f_r voorkomt. De weerstand bepaalt hoe diep en hoe scherp het minimum is, niet waar het ligt.

12. Een smoorspoel veroorzaakt een faseverschuiving van 55° tussen stroom en spanning. Na het in serie schakelen van een condensator van 8,0 µF ijlt de stroom nog 35° na op U. Bereken de weerstand en de zelfinductie van de smoorspoel; de frequentie bedraagt 60 Hz.

Toon de uitwerking

vóór : tan 55° = X_L / R → X_L = 1,428 · R na : tan 35° = (X_L − X_C) / R → X_L − X_C = 0,700 · R aftrekken : X_C = (1,428 − 0,700) · R = 0,728 · R X_C = 1 / (2π · 60 · 8,0·10⁻⁶) = 332 Ω R = 332 / 0,728 = 455 Ω X_L = 1,428 · 455 = 650 Ω L = 650 / (2π · 60) = 1,73 H

Controle: X_L − X_C = 650 − 332 = 318 Ω, dus tan φ = 318/455 = 0,700 en φ = 35,0° ✓ · De sleutel is dat R en X_L in beide situaties dezelfde zijn — alleen de condensator komt erbij.

13. De middentonerfilter van een driewegbox: een middentoner van 8,0 Ω in serie met C = 39,8 µF en L = 0,424 mH.
a) Bereken f_r.
b) Bereken Z bij 200 Hz, bij f_r en bij 8,0 kHz.
c) De onderste kantelfrequentie wordt bepaald door de condensator, de bovenste door de spoel. Toon algemeen aan dat f_r het meetkundig gemiddelde is van beide.

Toon de uitwerking

a) f_r = 1 / (2π√(0,424·10⁻³ · 39,8·10⁻⁶)) = 1 / (2π · 1,299·10⁻⁴) = 1225 Hz b) bij 200 Hz : X_L = 0,533 Ω, X_C = 20,0 Ω X = − 19,5 Ω → Z = 21,0 Ω bij f_r : X = 0 → Z = 8,0 Ω bij 8,0 kHz : X_L = 21,3 Ω, X_C = 0,500 Ω X = + 20,8 Ω → Z = 22,3 Ω

Aan beide uiteinden is Z zowat 2,7 keer groter dan bij resonantie, dus vloeit er 2,7 keer minder stroom. Het filter laat een band rond 1225 Hz door — precies het gebied waarin stemmen zitten.

c) De onderste kantelfrequentie is die van het RC-deel, de bovenste die van het RL-deel:

f_laag = 1 / (2πRC) f_hoog = R / (2πL) f_laag · f_hoog = [1/(2πRC)] · [R/(2πL)] = R / (4π²RLC) = 1 / (4π²LC) en f_r² = [1/(2π√(LC))]² = 1 / (4π²LC) dus f_laag · f_hoog = f_r² → f_r = √(f_laag · f_hoog)

De R valt weg. De resonantiefrequentie van een banddoorlaatfilter is dus altijd het meetkundig gemiddelde van de twee kantelfrequenties, ongeacht de impedantie van de luidspreker. Controle: √(500 · 3000) = 1225 Hz ✓

Video en simulatie

PhET — Circuit Construction Kit: AC, Virtual Lab. Bouw R, L en C in serie en zoek de frequentie waarbij de stroom maximaal is.
Vectordiagrammen uitgelegd — TU Delft, Nederlands.
Spoel en condensator bij lage en hoge frequentie — TU Delft, Nederlands.
Het signaal naar de juiste luidspreker sturen — TU Delft, Nederlands.
Interactief tekstboek Elektriciteit en Magnetisme, hoofdstuk 9 — TU Delft, CC BY-SA.

Vooruitblik

De volgende lesuren van dit onderdeel gaan dieper op de resonantiekromme in: je stelt de frequentiekarakteristiek zelf op in Excel en werkt met de overspanningsfactor, de bandbreedte en de selectiviteit van een kring.

Daarna volgt de RLC-parallelketen. Let daar goed op: in een parallelketen is niet de stroom maar de spanning de gemeenschappelijke grootheid, en tel je de stromen vectorieel op in plaats van de impedanties. Dat is de meest gemaakte denkfout van het hele blok — wie hier blindelings Z-formules blijft optellen, loopt gegarandeerd vast.