Les 5 — De RLC-parallelketen — 5TWE

Cursus TWE — RLC-blok Les 5 van 8

Les 5 — De RLC-parallelketen

Vak: Elektriciteit
Klas: 5TWE
Leerplandoel: LPD 17 / 39
Onderdeel: 5 van 8RLC-blok

Sluit een spoel en een condensator parallel aan op een bron, stel de juiste frequentie in en meet wat de bron levert: bijna niets. Klem daarna een ampèremeter in de spoel zelf en je leest ampères af. Er draait stroom rond in een kring die van buitenaf nauwelijks iets lijkt op te nemen. Dat is het spiegelbeeld van de overspanning uit les 4 — en je hebt deze les nodig om te zien waarom.

Na deze les kun je

uitleggen waarom in een parallelketen de spanning en niet de stroom de gemeenschappelijke grootheid is;
de drie takstromen berekenen en vectorieel optellen tot de lijnstroom;
het stroomvectordiagram tekenen voor de drie mogelijke gevallen;
werken met geleiding G, susceptantie B en admittantie Y, en daaruit Z bepalen;
de antiresonantievoorwaarde afleiden en f_r = 1/(2π√(LC)) toepassen;
verklaren waarom de kringstroom veel groter kan zijn dan de lijnstroom;
de parallelketen herkennen als sperkring en het verschil met de serieketen benoemen.

01De spanning is nu de gemeenschappelijke grootheid

In de vier vorige lessen stond alles in serie. Er was geen knooppunt, dus liep overal dezelfde stroom, en die stroom was je referentievector. Zet je R, L en C naast elkaar, dan draait die hele redenering om.

Fig. 01R, L en C parallel op een wisselspanningsbron. Over elke tak staat dezelfde spanning; in het knooppunt splitst de stroom zich.

serie : I is gemeenschappelijk → spanningen vectorieel optellen parallel : U is gemeenschappelijk → stromen vectorieel optellen

Dit is dé denkfout van het hele blok. Wie in een parallelketen impedanties gaat optellen, komt gegarandeerd op een verkeerd antwoord uit. Z = R + X_L − X_C bestaat niet, en ook √(R² + (X_L − X_C)²) geldt hier niet.

Reken altijd eerst de stromen uit, tel die vectorieel op, en bepaal Z pas op het einde met Z = U / I.

02De drie takstromen

Elke tak ziet dezelfde spanning U. Je berekent de stroom in elke tak dus gewoon met de wet van Ohm, met de tegenwerking van die ene component.

I_R = U / R in fase met U I_L = U / X_L ijlt 90° na op U I_C = U / X_C ijlt 90° voor op U

De faseverschuivingen zijn precies dezelfde als in les 1 — ze zijn immers een eigenschap van de component, niet van de schakeling. Alleen kijk je nu naar de stroom die door elke tak vloeit in plaats van naar de spanning over elke component.

Tak	Tegenwerking	Stroom	Stroom t.o.v. U	Zin in het diagram
R	R [Ω]	U / R	in fase	langs U
L	X_L = 2πfL	U / X_L	ijlt 90° na	naar beneden
C	X_C = 1/(2πfC)	U / X_C	ijlt 90° voor	naar boven

03Het stroomvectordiagram

De opbouw verloopt in vier stappen, net als in les 2 — alleen is de referentie nu de spanning.

Stap 1. Teken U horizontaal naar rechts. Dat is je referentie.

Stap 2. Teken I_R langs U, want die stroom is in fase.

Stap 3. Teken I_L recht naar beneden en I_C recht naar boven. Ze staan 180° uit fase, dus je trekt ze van elkaar af.

Stap 4. Tel wat overblijft vectorieel op bij I_R. De schuine zijde is de lijnstroom I.

Fig. 02De spanning is de referentie. I_L en I_C werken elkaar tegen; wat overblijft staat loodrecht op I_R.

netto blindstroom : I_b = I_L − I_C I = √(I_R² + (I_L − I_C)²) [A] Z = U / I [Ω]

Waarom I_L − I_C en niet omgekeerd? In serie noteerde je X_L − X_C: een positief resultaat betekende inductief, en dus een stroom die naijlt. Om diezelfde afspraak hier te laten kloppen, schrijf je de blindstroom als I_L − I_C. Een positief resultaat betekent opnieuw: inductief, φ positief, stroom ijlt na.

Voor de grootte van I maakt de volgorde niets uit — je kwadrateert toch. Voor het teken van φ wel.

04De drie gevallen

Fig. 03Dezelfde kring, drie frequenties. Links overweegt de spoel, rechts de condensator, in het midden heffen de twee takstromen elkaar volledig op.

Voorwaarde	Karakter	φ	Z	Lijnstroom	Stroom t.o.v. U
I_L > I_C	inductief	positief	< R	> I_R	ijlt na
I_L = I_C	resistief (antiresonantie)	0°	= R, maximaal	= I_R, minimaal	in fase
I_L < I_C	capacitief	negatief	< R	> I_R	ijlt voor

Let op de derde kolom. In een serieketen was Z bij resonantie minimaal; hier is Z bij antiresonantie juist maximaal. Dat is geen detail maar het hele verschil tussen een doorlaatkring en een sperkring.

05Geleiding, susceptantie en admittantie

Rekenen met R, X_L en X_C is in een parallelketen onhandig: je moet telkens delen. Daarom draaien we de grootheden om en werken we met hun omgekeerde.

geleiding G = 1 / R [S] susceptantie B_L = 1 / X_L B_C = 1 / X_C [S] admittantie Y = 1 / Z [S] Y = √(G² + (B_L − B_C)²) De eenheid is de siemens (S), vroeger de mho.

Waarom dit werkt: deel de hele stroomdriehoek door de gemeenschappelijke spanning U en je krijgt een gelijkvormige driehoek met G, B en Y als zijden. Precies zoals je in les 2 de spanningsdriehoek door de stroom deelde om de impedantiedriehoek te krijgen.

Fig. 04De admittantiedriehoek. Hij is gelijkvormig met de stroomdriehoek — elke zijde is de bijbehorende stroom gedeeld door U.

rechtstreeks : Y = √( (1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)² ) Z = 1 / Y

TWEIn complexe vorm schrijf je de admittantie als Y = G + j·(B_C − B_L). Let op dat de volgorde hier omgekeerd is aan die in het vectordiagram: omdat Y de omgekeerde is van Z, klapt het teken van het imaginaire deel om. Een positief imaginair deel van Y betekent dus capacitief, terwijl een positief imaginair deel van Z inductief betekent. Voor twee takken kun je ook rechtstreeks rekenen met Z = Z₁·Z₂ / (Z₁ + Z₂).

06De goniometrische formules

cos φ = I_R / I = G / Y sin φ = (I_L − I_C) / I = (B_L − B_C) / Y tan φ = (I_L − I_C) / I_R = (B_L − B_C) / G

Het teken van φ volgt rechtstreeks uit het teken van I_L − I_C. Reken je een positieve hoek uit terwijl I_C de grootste was, dan zit er een fout in je berekening.

07Antiresonantie

Er is precies één frequentie waarbij I_L en I_C even groot zijn. De twee takstromen heffen elkaar dan volledig op en van de blindstroom blijft niets over. Dat heet antiresonantie, of parallelresonantie.

I_L = I_C U / X_L = U / X_C ⇒ X_L = X_C 2 · π · f_r · L = 1 / (2 · π · f_r · C)

f_r = 1 / (2 · π · √(L · C)) [Hz]

Dat is letterlijk dezelfde formule als bij de serieketen. De voorwaarde is immers ook dezelfde: X_L = X_C. Alleen de gevolgen zijn tegengesteld.

Fig. 05Bij dezelfde f_r zakt Z in serie naar een minimum en stijgt Z in parallel naar een maximum.

Bij f_r	Serieketen	Parallelketen
Z	minimaal, = R	maximaal, = R
Stroom	maximaal	minimaal
Bijzonderheid	overspanning over L en C	overstroom in de kring
Als filter	banddoorlaat	bandsper

In werkelijkheid heeft elke spoel ook een ohmse draadweerstand. Daardoor ligt de echte antiresonantiefrequentie een fractie lager dan 1/(2π√(LC)), en zakt Z bij resonantie niet naar oneindig maar naar een eindige waarde. Voor een spoel met een behoorlijke kwaliteit is het verschil verwaarloosbaar.

08De kringstroom

Bij antiresonantie is de lijnstroom minimaal. Maar in de takken zelf loopt er wel degelijk stroom — en die kan vele malen groter zijn dan wat de bron levert.

Fig. 06De spoel en de condensator wisselen hun energie onderling uit. De bron hoeft alleen de verliezen bij te passen.

Het mechanisme is eenvoudig: de condensator ontlaadt zich in de spoel, de spoel bouwt een magnetisch veld op, dat veld stort in en laadt de condensator weer op — met de andere polariteit. Die uitwisseling gebeurt volledig binnen de lus. De bron levert alleen wat er aan warmte verloren gaat.

stroomversterkingsfactor Q = I_L / I = R / X_L = R · √(C / L)

Bij een Q van 22 loopt er in de spoel dus 22 keer meer stroom dan de bron levert. Dat is het exacte spiegelbeeld van de overspanningsfactor uit les 4.

Schendt dit de wetten van Kirchhoff? Nee. In het knooppunt geldt nog altijd dat de som van de stromen nul is — maar dan wel de vectoriële som. I_L en I_C zijn even groot en staan 180° uit fase, dus ze vallen tegen elkaar weg. Op elk ogenblik vloeit wat de ene tak opneemt de andere tak uit.

Praktisch gevolg: kies de doorsnede van je draad en het stroombereik van je zekering nooit op de lijnstroom als er een resonantiekring in het spel is. De componenten zelf zien een veel grotere stroom.

09De sperkring in de praktijk

Zet een parallelle LC-kring in serie met een verbruiker en je krijgt een bandsperfilter. Bij de resonantiefrequentie is de impedantie van die kring maximaal, dus juist die band raakt er niet door.

Fig. 07Een sperkring in serie met de luidspreker. Alles gaat erdoor, behalve de band rond f_r.

In de audiotechniek gebruik je dat om een piek weg te werken. Veel middentoners hebben rond hun eigen resonantiefrequentie, of bij het uiteenvallen van de conus, een oneffenheid in de frequentiekarakteristiek. Een sperkring die precies op die frequentie is afgestemd, haalt hem eruit zonder de rest van de band aan te tasten.

Dezelfde schakeling vind je terug als afstemkring in een radio-ontvanger: alle frequenties komen binnen op de antenne, maar alleen de ene waarop de kring is afgestemd levert een bruikbare spanning.

10Serie naast parallel

	RLC in serie	RLC in parallel
Gemeenschappelijk	de stroom I	de spanning U
Referentievector	I	U
Wat je optelt	spanningen	stromen
Tegenwerking	Z = √(R² + (X_L − X_C)²)	Y = √(G² + (B_L − B_C)²), Z = 1/Y
tan φ	(X_L − X_C) / R	(I_L − I_C) / I_R
Resonantie	f_r = 1/(2π√(LC))	f_r = 1/(2π√(LC))
Z bij f_r	minimaal, = R	maximaal, = R
Verschijnsel	overspanning	overstroom
Als filter	banddoorlaat	bandsper

11Oefeningen

Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers.

Basis

1. Een weerstand van 100 Ω, een spoel met X_L = 50 Ω en een condensator met X_C = 200 Ω staan parallel op 230 V. Bereken de drie takstromen.

Toon de uitwerking

I_R = U / R = 230 / 100 = 2,30 A I_L = U / X_L = 230 / 50 = 4,60 A I_C = U / X_C = 230 / 200 = 1,15 A

Elke tak ziet dezelfde 230 V — dat is het hele voordeel van een parallelschakeling.

2. Bereken voor die keten de lijnstroom en de fasehoek. Is de kring inductief of capacitief?

Toon de uitwerking

I_b = I_L − I_C = 4,60 − 1,15 = 3,45 A I = √(I_R² + I_b²) = √(2,30² + 3,45²) = √(5,29 + 11,90) = 4,15 A tan φ = 3,45 / 2,30 = 1,50 ⇒ φ = 56,3°

I_b is positief, dus de kring is inductief: de stroom ijlt 56,3° na op de spanning.

3. Bereken de impedantie van die keten, op twee manieren.

Toon de uitwerking

via de stroom : Z = U / I = 230 / 4,15 = 55,5 Ω via de admittantie : G = 1/100 = 0,0100 S B_L = 1/50 = 0,0200 S B_C = 1/200 = 0,00500 S Y = √(0,0100² + (0,0200 − 0,00500)²) = √(1,00·10⁻⁴ + 2,25·10⁻⁴) = 0,0180 S Z = 1 / Y = 55,5 Ω

Merk op dat Z kleiner is dan R. In een parallelketen kan de totale impedantie nooit groter zijn dan de kleinste tak — behalve precies bij antiresonantie.

Verdieping

4. Een spoel van 0,10 H en een condensator van 10 µF staan parallel. Bereken de antiresonantiefrequentie.

Toon de uitwerking

f_r = 1 / (2 · π · √(L · C)) = 1 / (2 · π · √(0,10 · 10·10⁻⁶)) = 1 / (2 · π · √(1,0·10⁻⁶)) = 1 / (2 · π · 1,0·10⁻³) = 159 Hz

5. Bij die frequentie staat er ook een weerstand van 2,2 kΩ parallel, en de bron levert 24 V. Bereken de lijnstroom, de stroom door de spoel, de impedantie van het geheel en de stroomversterkingsfactor.

Toon de uitwerking

X_L = 2 · π · 159 · 0,10 = 100 Ω X_C = 1 / (2 · π · 159 · 10·10⁻⁶) = 100 Ω ⇒ antiresonantie I_R = 24 / 2200 = 10,9 mA I_L = 24 / 100 = 0,240 A I_C = 24 / 100 = 0,240 A I_L en I_C heffen elkaar op : I = I_R = 10,9 mA Z = U / I = 24 / 0,0109 = 2,20 kΩ (= R) Q = I_L / I = 0,240 / 0,0109 = 22 controle : Q = R / X_L = 2200 / 100 = 22

De spoel voert 22 keer meer stroom dan de bron levert.

6. Een weerstand van 470 Ω staat parallel met een condensator van 1,0 µF, op 12 V / 1,0 kHz. Bereken I, Z en φ.

Toon de uitwerking

X_C = 1 / (2 · π · 1000 · 1,0·10⁻⁶) = 159 Ω I_R = 12 / 470 = 25,5 mA I_C = 12 / 159 = 75,4 mA I = √(25,5² + 75,4²) = 79,6 mA Z = U / I = 12 / 0,0796 = 151 Ω tan φ = 75,4 / 25,5 = 2,96 ⇒ φ = 71,3°

Er is geen spoel, dus I_L = 0 en de blindstroom is negatief: de kring is capacitief en de stroom ijlt 71,3° voor op de spanning.

Inzicht

7. De serieketen en de parallelketen hebben exact dezelfde formule voor f_r. Toon aan waarom dat zo moet zijn, en leg uit waarom de gevolgen toch tegengesteld zijn.

Toon de uitwerking

Waarom dezelfde formule. In beide gevallen is de voorwaarde X_L = X_C. In serie volgt dat uit U_L = U_C (zelfde stroom door beide), in parallel uit I_L = I_C (zelfde spanning over beide). Beide voorwaarden leiden naar 2πf_rL = 1/(2πf_rC) en dus naar dezelfde f_r.

Waarom tegengestelde gevolgen. In serie tel je de reactanties op: vallen ze tegen elkaar weg, dan blijft alleen R over en is Z minimaal. In parallel tel je de susceptanties op: vallen die tegen elkaar weg, dan blijft alleen G over, en G minimaal betekent Y minimaal, dus Z maximaal.

Kort: hetzelfde wegvallen, maar de ene keer in de teller en de andere keer in de noemer.

8. Een sperkring bestaat uit L = 1,0 mH en C = 4,7 µF in parallel, geplaatst in serie met een luidspreker van 8,0 Ω. Welke frequentie wordt geblokkeerd? En wat gebeurt er met een toon van 200 Hz?

Toon de uitwerking

f_r = 1 / (2 · π · √(1,0·10⁻³ · 4,7·10⁻⁶)) = 1 / (2 · π · √(4,7·10⁻⁹)) = 1 / (2 · π · 6,86·10⁻⁵) = 2,32 kHz

Rond 2,32 kHz is de impedantie van de sperkring maximaal en komt er nauwelijks signaal bij de luidspreker.

Bij 200 Hz is X_L = 2π·200·1,0·10⁻³ = 1,26 Ω — heel klein. De spoel vormt daar dus praktisch een kortsluiting over de kring, de sperkring stelt niets voor, en de toon van 200 Hz gaat zonder verzwakking door.

9. a) In les 4 kon U_L tien keer de bronspanning worden, hier kan I_L tien keer de lijnstroom worden. Leg voor beide uit waarom er geen enkele wet geschonden wordt.
b) Een reële spoel heeft draadweerstand. Redeneer — zonder te rekenen — of de echte antiresonantiefrequentie daardoor hoger of lager komt te liggen dan 1/(2π√(LC)).

Toon de uitwerking

a) De spanningswet van Kirchhoff zegt dat de vectoriële som van de spanningen in een gesloten kring nul is, niet de rekenkundige som. U_L en U_C staan 180° uit fase en heffen elkaar op, hoe groot ze elk ook zijn. Voor de stroomwet in de parallelketen geldt precies hetzelfde: I_L en I_C zijn even groot en in tegenfase, dus hun som in het knooppunt is nul.

In beide gevallen wordt er ook geen energie uit het niets gehaald. De spoel en de condensator wisselen energie uit; ze verbruiken er netto geen.

b) De draadweerstand zit in serie met L en vertraagt de opbouw van de stroom in die tak. Daardoor is er een iets grotere zelfinductie-werking nodig om I_L op I_C te laten uitkomen, en dat gebeurt bij een lagere frequentie. De echte antiresonantiefrequentie ligt dus iets lager. Bovendien blijft Z bij resonantie eindig in plaats van oneindig, omdat de draadweerstand altijd wat vermogen blijft opnemen.

Vooruitblik

Je kent nu de vier basisketens: RL en RC in serie, en RLC in serie en in parallel. In de volgende lessen bouw je daarop verder met gemengde schakelingen, waarin je eerst een parallelgroep herleidt tot één vervangende impedantie en die daarna in serie verwerkt. De vuistregel blijft: kijk eerst welke grootheid gemeenschappelijk is, en kies je referentievector daarop.