Les 3 — De RC-serieketen

Cursus TWE — Elektriciteit Les 3 van 8

Les 3 — De RC-serieketen

Vak: Elektriciteit
Klas: 5TWE
Leerplandoel: LPD 17 / 39
Onderdeel: 3 van 8RLC-blok

Deze les hoef je bijna niets nieuws te leren. Dezelfde vier tekenstappen, dezelfde driehoek, dezelfde goniometrie als vorige week — er draait maar één vector om. Wat je er wél mee wint, is de verklaring van de condensator vóór je tweeter: waarom hij de bas tegenhoudt, bij welke frequentie hij dat begint te doen, en waarom je tweeter doorbrandt als hij stukgaat.

Na deze les kun je

het spanningsvectordiagram van een RC-serieketen tekenen en verantwoorden waarom U_C naar beneden wijst;
Z, I, φ, U_R en U_C berekenen, met eenheden, op 3 beduidende cijfers en met het juiste teken van φ;
het verschil tussen een inductieve en een capacitieve kring uitleggen aan de hand van het teken van de fasehoek;
verklaren waarom Z hier daalt bij stijgende frequentie, terwijl ze bij de RL-keten steeg;
de RC-serieketen herkennen als hoogdoorlaatfilter, de kantelfrequentie berekenen en het −3 dB-punt verklaren.

01Het spiegelbeeld van vorige les

Uit les 1 weet je: bij een spoel ijlt de stroom 90° na op de spanning, bij een condensator 90° voor. In het vectordiagram betekent dat één ding — de reactieve vector klapt om.

Fig. 01Links de RL-keten van vorige les, rechts de RC-keten. Zelfde lengtes, zelfde driehoek, gespiegeld om de stroomas.

	RL-serieketen	RC-serieketen
Reactieve vector	U_L wijst omhoog	U_C wijst omlaag
Fasehoek φ	positief, 0° … + 90°	negatief, 0° … − 90°
Stroom t.o.v. U	ijlt na	ijlt voor
Karakter	inductief	capacitief
Reactantie bij hogere f	X_L stijgt	X_C daalt

02Schema en vectordiagram

Fig. 02Een weerstand en een condensator in serie op een wisselspanningsbron.

Er is opnieuw geen enkel knooppunt, dus de stroomwet van Kirchhoff zegt: door beide componenten vloeit dezelfde stroom. I is dus weer de referentievector en komt op de horizontale as. De vier stappen zijn letterlijk die van vorige les:

Stap 1. Teken I horizontaal, punt naar rechts.

Stap 2. Teken U_R op de stroomas: hoek 0°.

Stap 3. Teken U_C vanaf de kop van U_R, loodrecht naar beneden: hoek − 90°.

Stap 4. Verbind staart en kop. Die resultante is de bronspanning U.

Fig. 03De volledige driehoek ligt onder de stroomas. De stroom ijlt φ voor op de bronspanning.

Fig. 04Hetzelfde in de tijd: de stroom bereikt haar top φ vroeger dan de spanning.

03Spanningsdriehoek en impedantiedriehoek

De drie spanningen vormen weer een rechthoekige driehoek, en het delen door I werkt precies zoals vorige les — de vorm blijft behouden, alleen de eenheid verandert van volt naar ohm.

Fig. 05De drie gelijkvormige driehoeken, nu naar beneden gericht. Deel door I en je krijgt de impedantiedriehoek; vermenigvuldig met I en je krijgt de vermogensdriehoek.

U = √(U_R² + U_C²) Z = √(R² + X_C²) [Ω] met X_C = 1 / (2 · π · f · C) I = U / Z

Let op het verschil met vorige les. De formule voor Z ziet er identiek uit, maar X_C gedraagt zich omgekeerd aan X_L: ze wordt kleiner naarmate de frequentie stijgt. De hele frequentiekarakteristiek keert daardoor om.

04De goniometrische formules en het teken van φ

cos φ = U_R / U = R / Z sin φ = U_C / U = X_C / Z tan φ = U_C / U_R = X_C / R φ = − arctan(X_C / R) altijd tussen 0° en − 90°

Waarom een minteken, terwijl de driehoek dezelfde vorm heeft? Omdat het teken niets zegt over de driehoek maar over de draaizin. We spreken af: tegen de wijzers van de klok in is positief. Bij de RL-keten stond U boven de stroomas, dus tegen de wijzers in: φ positief. Hier staat U eronder, dus met de wijzers mee: φ negatief.

Praktisch gevolg: als je in een oefening een positieve hoek uitrekent voor een RC-keten, heb je het teken vergeten. Op Z heeft dat geen invloed, maar bij de RLC-keten van volgende les leidt zo'n slordigheid rechtstreeks naar een verkeerd antwoord.

05Invloed van de frequentie

Fig. 06Bij lage frequentie is XC enorm en blokkeert de condensator zowat alles. Naarmate f stijgt, zakt Z naar R en kantelt φ van −90° naar 0°.

	f → 0 (gelijkspanning)	f zeer groot
X_C	→ ∞	→ 0 Ω
Z	→ ∞ : de kring blokkeert	→ R : de condensator telt niet meer mee
φ	→ − 90°	→ 0°
I bij vaste U	→ 0	maximaal (U/R)

Bij gelijkspanning is Z oneindig: dat klopt met wat je al wist, want een geladen condensator laat geen gelijkstroom door. Bij zeer hoge frequentie verdwijnt de condensator praktisch uit de kring en blijft alleen de weerstand over.

06De hoogdoorlaatfilter

Neem nu de spanning over de weerstand als uitgang van de schakeling. Uit de impedantiedriehoek volgt onmiddellijk welk deel van de bronspanning daar terechtkomt:

U_R / U = R / Z = R / √(R² + X_C²)

Bij lage frequentie is X_C groot, dus is die breuk klein: de condensator slikt bijna de hele spanning op. Bij hoge frequentie is X_C klein en gaat vrijwel alles naar de weerstand. Vandaar de naam: hoogdoorlaatfilter.

De kantelfrequentie

Er is één frequentie waar X_C precies even groot is als R. Die noemen we de kantelfrequentie of afsnijfrequentie f_c:

X_C = R 1 / (2 · π · f_c · C) = R f_c = 1 / (2 · π · R · C) [Hz]

Vul X_C = R in de filterformule in en je krijgt:

U_R / U = R / √(R² + R²) = R / (R·√2) = 1 / √2 ≈ 0,707

Bij f_c staat dus nog 70,7 % van de bronspanning over de weerstand. In vermogen is dat minder dan je zou denken, want P is evenredig met U²: 0,707² = 0,50, dus precies de helft van het vermogen. Halvering van het vermogen komt in de audiotechniek overeen met −3 dB, en daarom heet f_c ook het −3 dB-punt.

Fig. 07De filterkarakteristiek van de tweeterfilter uit les 1. Bij 3 kHz snijdt de kromme de lijn 0,707: dat is de kantelfrequentie.

Een filter schakelt niet, het glooit. Veel leerlingen verwachten een scherpe grens: onder f_c niets, erboven alles. De kromme laat zien dat de overgang geleidelijk verloopt — een eerste-ordefilter halveert de spanning ongeveer per octaaf. Wil je steiler afsnijden, dan heb je een spoel én een condensator nodig, en dat is precies waar les 4 over gaat.

Neem je de uitgang over de condensator in plaats van over de weerstand, dan krijg je U_C/U = X_C/Z en keert het beeld om: dan heb je een laagdoorlaatfilter. Dezelfde schakeling, ander afnamepunt.

07De complexe schrijfwijze

TWE verplicht onderdeel van elke oplossing.

rechthoekige vorm : Z = R − j·X_C poolvorm : Z = |Z| ∠ φ met |Z| = √(R² + X_C²) en φ = − arctan(X_C / R)

Zet dit naast de RL-vorm van vorige les, Z = R + j·X_L. Het teken van het imaginaire deel zegt in één oogopslag welk karakter de kring heeft:

+ j → inductief → stroom ijlt na − j → capacitief → stroom ijlt voor

Voor R = 30 Ω en X_C = 40 Ω wordt dat Z = 30 − j·40 Ω = 50 ∠ −53,1° Ω. Volgende les, bij de RLC-keten, is dit teken je snelste controle: staat er na optelling een min, dan overweegt de condensator.

08Samenvattend schema

	R	L	C	RL-serie	RC-serie
Tegenwerking [Ω]	R	X_L = 2πfL	X_C = 1/(2πfC)	Z = √(R²+X_L²)	Z = √(R²+X_C²)
Wet van Ohm	I = U/R	I = U/X_L	I = U/X_C	I = U/Z	I = U/Z
Fasehoek φ	0°	+ 90°	− 90°	0 … + 90°	0 … − 90°
Stroom t.o.v. U	in fase	90° na	90° voor	φ na	φ voor
Bij stijgende f	onveranderd	X_L stijgt	X_C daalt	Z stijgt	Z daalt
Als filter	—	—	—	laagdoorlaat (over R)	hoogdoorlaat (over R)
Complexe vorm	R	+ j·X_L	− j·X_C	R + j·X_L	R − j·X_C

09Oefeningen

Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Teken bij elke oefening het vectordiagram en let op het teken van φ.

Basis

1. Een RC-serieketen heeft R = 30 Ω en X_C = 40 Ω. Bereken Z en φ.

Toon de uitwerking

Z = √(30² + 40²) = √2500 = 50,0 Ω φ = − arctan(40 / 30) = − 53,1°

Dezelfde getallen als het RL-voorbeeld van vorige les. Alleen het teken van φ verschilt — dat is de hele les in één oefening.

2. Een weerstand van 1,0 kΩ staat in serie met een condensator van 1,0 µF op 50 Hz. Bereken X_C, Z en φ.

Toon de uitwerking

X_C = 1 / (2 · π · 50 Hz · 1,0 · 10⁻⁶ F) = 3183 Ω Z = √(1000² + 3183²) = 3336 Ω = 3,34 kΩ φ = − arctan(3183 / 1000) = − 72,6°

De hoek ligt dicht bij −90°: bij 50 Hz is deze kring bijna zuiver capacitief. Dat is meteen de reden waarom zo'n filter het lichtnet zowat volledig tegenhoudt.

3. Van een RC-serieketen is Z = 100 Ω en X_C = 80 Ω. Bereken R en φ.

Toon de uitwerking

R = √(Z² − X_C²) = √(10 000 − 6400) = √3600 = 60,0 Ω φ = − arctan(80 / 60) = − 53,1°

4. In een RC-serieketen meet je U_R = 12 V en U_C = 16 V. Bereken de bronspanning en de fasehoek.

Toon de uitwerking

U = √(12² + 16²) = √400 = 20,0 V φ = − arctan(16 / 12) = − 53,1°

Weer de 3-4-5-driehoek. Wie die herkent, controleert zijn rekenmachine in twee seconden.

5. Een RC-serieketen op 24 V heeft Z = 60 Ω en cos φ = 0,60. Bereken I, R en X_C.

Toon de uitwerking

I = U / Z = 24 V / 60 Ω = 0,400 A R = Z · cos φ = 60 Ω · 0,60 = 36,0 Ω sin φ = √(1 − 0,60²) = 0,80 X_C = Z · sin φ = 60 Ω · 0,80 = 48,0 Ω

Controle: √(36² + 48²) = 60,0 Ω ✓ · De hoek zelf is − 53,1°, want cos 53,1° = 0,60.

6. Verklaar zonder te rekenen waarom de fasehoek in een RC-serieketen nooit precies 0° en nooit precies − 90° kan zijn, zolang R en C beide aanwezig zijn.

Toon de uitwerking

φ = − arctan(X_C/R). Voor φ = 0° zou X_C nul moeten zijn, en dat kan alleen bij oneindig hoge frequentie of oneindig grote capaciteit. Voor φ = − 90° zou R nul moeten zijn, en dan is er geen weerstand meer in de kring.

In de praktijk nader je beide grenzen wel: bij zeer hoge frequentie zit je vlak bij 0°, bij zeer lage frequentie vlak bij − 90°. Bereiken doe je ze nooit.

Verdieping

7. Een weerstand van 220 Ω staat in serie met een condensator van 470 nF op 1,0 kHz. De bron levert 5,0 V. Bereken X_C, Z, I, φ, U_R, U_C en het werkelijk vermogen.

Toon de uitwerking

X_C = 1 / (2 · π · 1000 Hz · 470 · 10⁻⁹ F) = 339 Ω Z = √(220² + 339²) = √163 070 = 404 Ω I = 5,0 V / 404 Ω = 0,0124 A = 12,4 mA φ = − arctan(339 / 220) = − 57,0° U_R = 220 Ω · 0,0124 A = 2,72 V U_C = 339 Ω · 0,0124 A = 4,19 V controle : √(2,72² + 4,19²) = 5,00 V ✓ P = I² · R = 0,0124² · 220 = 33,7 mW

8. Bij welke frequentie bedraagt de fasehoek van een RC-serieketen met R = 470 Ω en C = 100 nF precies − 45°?

Toon de uitwerking

φ = − 45° ⇔ X_C = R 1 / (2 · π · f · C) = R f = 1 / (2 · π · R · C) = 1 / (2 · π · 470 Ω · 100 · 10⁻⁹ F) = 3,39 kHz

Dit is meteen de kantelfrequentie van het filter: −45° en 0,707 en −3 dB vallen altijd op dezelfde frequentie samen.

9. In een RC-serieketen halveer je de frequentie en houd je de bronspanning gelijk. Wat gebeurt er met X_C, Z, I en φ? Beredeneer zonder getallen.

Toon de uitwerking

X_C verdubbelt: ze is omgekeerd evenredig met f.
Z stijgt, maar minder dan het dubbele — alleen de verticale zijde van de driehoek verdubbelt.
I daalt, want I = U/Z bij gelijke U.
φ wordt negatiever en nadert − 90°: tan φ = − X_C/R en de teller verdubbelt.

Precies omgekeerd aan de RL-keten, waar hálveren van f de hoek juist naar 0° dreef.

10. Teken de vectordiagrammen van een RL- en een RC-serieketen met dezelfde R en met |X_L| = |X_C|. Hoe groot is de hoek tussen U_L en U_C? En tussen de twee bronspanningen?

Toon de uitwerking

U_L wijst recht omhoog (+90° op de stroom), U_C recht omlaag (−90°). De hoek tussen beide is dus 180°: ze staan in tegenfase.

hoek tussen U_L en U_C = 90° − (− 90°) = 180° hoek tussen de twee bronspanningen = φ − (− φ) = 2φ bij R = 30 Ω en X = 40 Ω : 2 · 53,1° = 106,3°

Die 180° is de sleutel tot volgende les. Zet je L en C samen in één kring, dan werken hun spanningen elkaar tegen — en als ze even groot zijn, blijft er niets van over.

Inzicht

11. Leid vertrekkend van de impedantiedriehoek af dat U_R/U = R/√(R² + X_C²), en toon aan dat deze verhouding gelijk wordt aan 1/√2 wanneer X_C = R. Leid daaruit de formule voor de kantelfrequentie af en verklaar de naam −3 dB.

Toon de uitwerking

U_R = I · R en U = I · Z U_R / U = (I · R) / (I · Z) = R / Z = R / √(R² + X_C²) voor X_C = R : U_R / U = R / √(R² + R²) = R / (R√2) = 1/√2 = 0,707 X_C = R → 1 / (2πf_cC) = R → f_c = 1 / (2πRC)

De stroom I valt weg omdat ze in een serieketen in beide uitdrukkingen dezelfde is. Dat is precies waarom de verhouding alleen van R en X_C afhangt en niet van de bronspanning.

Het vermogen in de weerstand is evenredig met het kwadraat van de spanning: P ∝ U_R². Bij f_c is U_R/U = 0,707, dus P/P_max = 0,707² = 0,50. Het vermogen is er dus gehalveerd, en 10·log(0,50) = − 3,0 dB.

12. Van een onbekende RC-serieketen meet je bij 1,0 kHz een impedantie van 500 Ω en bij 2,0 kHz een impedantie van 300 Ω. Bereken R en C.

Toon de uitwerking

Z₁² = R² + X_C1² = 250 000 Z₂² = R² + X_C2² = 90 000 bij verdubbeling van f halveert X_C : X_C2 = X_C1 / 2 aftrekken schakelt R² uit : X_C1² − X_C1²/4 = 160 000 (3/4) · X_C1² = 160 000 X_C1² = 213 333 → X_C1 = 462 Ω R² = 250 000 − 213 333 = 36 667 → R = 191 Ω C = 1 / (2 · π · 1000 Hz · 462 Ω) = 345 nF

Controle bij 2 kHz: X_C2 = 231 Ω, dus Z = √(191² + 231²) = 300 Ω ✓ · Dezelfde truc als bij de spoel vorige les, alleen halveert de reactantie hier in plaats van te verdubbelen.

13. De condensator van 6,63 µF vóór de tweeter van 8,0 Ω gaat stuk en wordt kortsluiting. De versterker levert 8,0 V. Bereken hoeveel keer meer vermogen de tweeter opneemt bij 300 Hz, en bij 100 Hz. Verklaar waarom de tweeter dat niet overleeft.

Toon de uitwerking

MET CONDENSATOR, bij 300 Hz X_C = 1/(2π · 300 · 6,63·10⁻⁶) = 80,0 Ω Z = √(8,0² + 80,0²) = 80,4 Ω I = 8,0 / 80,4 = 0,0995 A P = I² · 8,0 = 79,2 mW MET CONDENSATOR, bij 100 Hz X_C = 240 Ω → Z = 240 Ω I = 0,0333 A → P = 8,88 mW BIJ KORTSLUITING (X_C = 0) Z = 8,0 Ω → I = 1,00 A → P = 8,00 W verhouding bij 300 Hz : 8,00 / 0,0792 = 101 × verhouding bij 100 Hz : 8,00 / 0,00888 = 901 ×

Een tweeterspoeltje is bewust zo licht mogelijk gebouwd — dat is nu net wat hem snel maakt. Die lichte constructie kan nauwelijks warmte afvoeren, dus honderd keer meer vermogen betekent doorbranden binnen enkele seconden. Bovendien moet het membraan bij lage frequenties uitslagen maken waarvoor het mechanisch niet ontworpen is.

Besluit: een defecte wisselcondensator neemt bijna altijd ook de tweeter mee. Vervang je bij een reparatie de tweeter, controleer dan altijd eerst de condensator — anders brandt ook de nieuwe door.

Video en simulatie

PhET — Circuit Construction Kit: AC, Virtual Lab. Bouw R en C in serie, meet U_R en U_C en verhoog de frequentie stap voor stap.
Vectordiagrammen uitgelegd — TU Delft, Nederlands. Deze video gebruikt net de RC-keten als voorbeeld.
Spoel en condensator bij lage en hoge frequentie — TU Delft, Nederlands.
Het signaal naar de juiste luidspreker sturen — TU Delft, Nederlands.
Interactief tekstboek Elektriciteit en Magnetisme, hoofdstuk 9 — TU Delft, CC BY-SA.

Vooruitblik op les 4

Je hebt nu de spoel en de condensator elk apart met een weerstand gecombineerd. Volgende les zetten we alle drie samen in één kring. In het vectordiagram komen U_L en U_C dan tegenover elkaar te staan — 180° uit fase, zoals je in oefening 10 vaststelde — en trekken ze elkaar dus van elkaar af. Wordt X_L = X_C, dan blijft er van beide samen niets over en gedraagt de kring zich als een zuivere weerstand. Dat verschijnsel heet resonantie, en het is het meest verrassende van dit hele blok.