Cursus TWE — header Naar de inhoud

Wisselstroom – herhaling

Herhaling wisselstroom — 6TWE
Cursus TWE — Elektriciteit Herhaling

Herhaling — wisselstroom

Vak
Elektriciteit
Klas
6TWE
Rol
Startpuntdriefasenetten, distributienetten, stuur- en vermogenkringen

Dit jaar werk je aan driefasenetten en distributienetten. Denk aan een laadpaal voor een elektrische wagen: drie fasen, een aansluitvermogen dat mee bepaald wordt door cos φ, en kabels die op stroom en spanningsval berekend worden. Alles wat daar gebeurt, staat op de vier onderdelen van deze pagina. Loop ze door vóór we aan de driefasenetten beginnen.

01De wetten van Kirchhoff

Eerste wet — de stroomwet

Definitie. In elk knooppunt van een elektrische keten is de som van de toekomende stromen gelijk aan de som van de afgevoerde stromen.

Fig. 01Twee toekomende en twee afgevoerde stromen in één knooppunt.
I₁ + I₃ = I₂ + I₄ 20 A + 15 A = 10 A + I₄ 20 A + 15 A − 10 A = I₄ I₄ = 25 A

De stroomwet is niets anders dan behoud van lading: er kan in een knooppunt geen lading verdwijnen of bijkomen.

Tweede wet — de spanningswet

Definitie. In een gesloten stroomkring is de algebraïsche som van de spanningen gelijk aan nul.

Fig. 02Doorloop de kring in één vaste zin en tel alle spanningen op, met hun teken.
U − U₁ − U₂ = 0 of U = U₁ + U₂

De spanningswet is behoud van energie: doorloop je een gesloten kring en kom je terug op je vertrekpunt, dan moet de netto energiewinst per lading nul zijn.

Belangrijk voor dit jaar. Beide wetten blijven onverkort gelden bij wisselspanning. Keert de polariteit van de bron om, dan keren alle stromen en spanningen mee om. Maar let op: ze gelden voor de ogenblikkelijke waarden u en i. Effectieve waarden U en I mag je niet zomaar optellen, want die bereiken hun maximum niet gelijktijdig — daarover gaat §4.

Oefeningen

1.  Bereken I₁, I₂ en I₃ met de twee wetten van Kirchhoff.

Fig. 03

Toon de uitwerking
stroomwet : I₁ + I₂ = I₃ linkerkring : 16 = 2·I₁ + 2·I₃ rechterkring : 20 = 5·I₂ + 2·I₃ uit de kringen : I₁ = 8 − I₃ I₂ = 4 − 0,4·I₃ invullen : (8 − I₃) + (4 − 0,4·I₃) = I₃ 12 = 2,4·I₃
I₃ = 5,0 A I₁ = 3,0 A I₂ = 2,0 A

Controle: 3 + 2 = 5 ✓ · 2·3 + 2·5 = 16 ✓ · 5·2 + 2·5 = 20 ✓

2.  Zelfde vraag. Let goed op je resultaat: één van de stromen komt negatief uit. Wat betekent dat?

Fig. 04

Toon de uitwerking
stroomwet : I₁ + I₂ = I₃ linkerkring : 18 = 1·I₁ + 3·I₃ rechterkring : 8 = 2·I₂ + 3·I₃ I₁ = 18 − 3·I₃ I₂ = 4 − 1,5·I₃ invullen : 22 − 4,5·I₃ = I₃ → 22 = 5,5·I₃
I₃ = 4,0 A I₁ = 6,0 A I₂ = − 2,0 A

Het minteken is informatie, geen fout. De stroom in de rechtertak vloeit in werkelijkheid tegengesteld aan de zin die we op de tekening aannamen: ze loopt naar de bron van 8 V toe, die daardoor geladen wordt in plaats van te leveren. De grootte van 2,0 A klopt; alleen de pijl staat verkeerd om.

Daarom mag je bij Kirchhoff gerust een stroomzin aannemen zonder er lang over na te denken. Klopt de zin niet, dan zegt het teken je dat vanzelf.

Simulatie. Bouw je eigen netwerk en meet na met virtuele meters: PhET — Schakelingen bouwen (gelijkstroom), in het Nederlands.

02De wet van Ohm

U = R · I U spanning [V] I stroom [A] R weerstand [Ω] P = U · I = I² · R = U² / R [W]

Uit die twee formules volgen twaalf vormen. Je hoeft ze niet uit het hoofd te kennen — je moet ze kunnen afleiden. Het wiel is een handig geheugensteuntje, geen vervanging van het inzicht.

Fig. 05Het wiel van de wet van Ohm. Kies de grootheid die je zoekt in het midden, en daarnaast staat wat je ermee kunt.

Berekeningsvoorbeelden

3.  Een verwarmingselement van 48 Ω staat op 230 V. Bereken de stroom en het opgenomen vermogen.

Toon de uitwerking
I = U / R = 230 V / 48 Ω = 4,79 A P = U · I = 230 · 4,79 = 1,10 kW controle via P = U²/R : 230² / 48 = 1102 W ✓

4.  Een motor neemt 6,5 A op bij 230 V. Welke doorsnede heeft de kabel nodig als de spanningsval over 40 m heen- en terugleiding maximaal 3,0 V mag bedragen? De soortelijke weerstand van koper is 0,0175 Ω·mm²/m.

Toon de uitwerking
toegelaten weerstand van de leiding : R = ΔU / I = 3,0 V / 6,5 A = 0,462 Ω lengte heen én terug : ℓ = 2 · 40 m = 80 m R = ρ · ℓ / A → A = ρ · ℓ / R A = 0,0175 · 80 / 0,462 = 3,03 mm²

Je kiest dus de eerstvolgende normmaat: 4 mm². Dit is precies het type berekening dat bij de distributienetten voortdurend terugkomt.

5.  Leid af waarom P = U² / R, vertrekkend van P = U · I.

Toon de uitwerking
P = U · I en I = U / R P = U · (U / R) = U² / R

Op dezelfde manier vind je P = I²·R door in P = U·I de spanning te vervangen door R·I.

Simulaties. Wet van Ohm en Schakelen van weerstanden — Walter Fendt, HTML5, Nederlands.

03Wisselspanning en wisselstroom

Wisselspanning (AC) verloopt sinusvormig in functie van de tijd.

Fig. 06De vier grootheden die je van een sinusvormige spanning moet kunnen aflezen.
BegripBetekenis
Periode TDe tijdsduur in seconden tussen twee opeenvolgende tijdstippen waarop de spanning of de stroom op dezelfde wijze door nul gaat, of op dezelfde wijze een maximum of minimum bereikt.
Frequentie fHet aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt. f = 1/T, in hertz (Hz).
Effectieve waardeDe waarde die een gelijkstroom of gelijkspanning moet bezitten om in eenzelfde weerstand hetzelfde vermogen te ontwikkelen.
Momentele waardeDe waarde die de wisselspanning of wisselstroom op een gegeven ogenblik heeft. Genoteerd met kleine letters: u en i.
Cirkelfrequentie ωHet aantal radialen dat per seconde doorlopen wordt. ω = 2πf, in rad/s.
u(t) = Û · sin(ω · t) met ω = 2 · π · f U = Û / √2 ≈ 0,707 · Û I = Î / √2

Het net levert 230 V effectief, en dat komt overeen met een piekwaarde van 230 · √2 = 325 V. Je isolatie moet dus tegen 325 V kunnen, niet tegen 230.

Vectoriële voorstelling

Een sinusvormige grootheid stel je voor als een draaiende vector. De projectie van die vector op de verticale as geeft op elk ogenblik de momentele waarde. Zo wordt een tijdfunctie een pijl met een lengte en een hoek — precies wat je nodig hebt om grootheden op te tellen die hun maximum niet gelijktijdig bereiken.

Fig. 07De lengte van de vector stelt de piekwaarde voor, de hoek ωt stelt de stand op dat ogenblik voor.

Dit is het gereedschap waarmee je straks drie spanningen van 120° uit elkaar optelt. Wie hier vlot een vectordiagram tekent, heeft het halve driefasenhoofdstuk al binnen.

Simulatie. Generator — zie hoe de sinusvormige spanning ontstaat uit een draaiende spoel in een magneetveld. Fendt, HTML5, Nederlands.

04Gedrag van R, L en C bij wisselspanning

Weerstand RSpoel LCondensator C
Tegenwerking [Ω]RXL = 2πfLXC = 1/(2πfC)
Wet van OhmI = U/RI = U/XLI = U/XC
Faseverschuiving0°stroom ijlt 90° nastroom ijlt 90° voor
Bij stijgende fonveranderdXL stijgtXC daalt
Opgenomen vermogenP = U·I0 W (blindvermogen)0 W (blindvermogen)

Faseverschuiving

Fig. 08Weerstand: spanning en stroom bereiken hun maximum gelijktijdig.
Fig. 09Zuivere spoel: de stroom komt een kwart periode te laat.
Fig. 10Zuivere condensator: de stroom is er een kwart periode eerder.

In vectordiagram, met de stroom telkens horizontaal:

Fig. 11R : φ = 0° · L : stroom ijlt 90° na · C : stroom ijlt 90° voor

Onthoud ELI – ICE. In de spoel (L) komt de spanning E vóór de stroom I. In de Condensator komt de stroom I vóór de spanning E.

Opmerking. Is de belasting niet zuiver — en in de praktijk is ze dat nooit — dan is de faseverschuiving kleiner dan 90°. Een motorwikkeling heeft naast zelfinductie ook draadweerstand, en komt daardoor typisch op 40° à 70° uit. Dat is precies wat cos φ meet.

Invloed van de frequentie

Fig. 12De inductieve reactantie stijgt met de frequentie, de capacitieve daalt. Dubbellogaritmische schaal.

6.  Bereken XL van een spoel met L = 120 mH bij 50 Hz, en XC van een condensator van 10 µF bij dezelfde frequentie.

Toon de uitwerking
XL = 2 · π · 50 · 0,120 = 37,7 Ω XC = 1 / (2 · π · 50 · 10·10−6) = 318 Ω

Let op de omzetting µF → F. Dat is de meest gemaakte rekenfout van dit hoofdstuk.

Simulaties. Eenvoudige wisselstroomschakeling — bekijk R, L en C afzonderlijk met hun vectordiagram. Combinaties van weerstanden, spoelen en condensatoren — voor wanneer je ze samen zet. Beide Fendt, HTML5, Nederlands.
Verder: PhET — Circuit Construction Kit: AC, Virtual Lab en het interactieve tekstboek van de TU Delft, hoofdstuk Wisselstroom (Nederlands, met video's).

05Waar dit dit jaar naartoe gaat

Drie zaken uit deze herhaling komen onmiddellijk terug:

  • Kirchhoff bij wisselspanning geldt alleen voor de ogenblikkelijke waarden. Effectieve waarden moet je vectorieel optellen — dat is de basis van elk vectordiagram, en dus ook van de spanningsdriehoek van een driefasennet.
  • De faseverschuiving bepaalt cos φ, de arbeidsfactor. In een distributienet bepaalt die rechtstreeks hoeveel stroom er door de kabel moet voor eenzelfde nuttig vermogen — en dus de kabeldoorsnede en de zekering.
  • De vectoriële voorstelling is het gereedschap waarmee je drie spanningen van 120° uit elkaar optelt.

7.  Een werkplaats neemt 15 kW op bij 400 V driefasig. Bereken de stroom per fase bij cos φ = 0,95 en bij cos φ = 0,65. Wat besluit je?

Toon de uitwerking
P = √3 · U · I · cos φ → I = P / (√3 · U · cos φ) cos φ = 0,95 : I = 15 000 / (1,732 · 400 · 0,95) = 22,8 A cos φ = 0,65 : I = 15 000 / (1,732 · 400 · 0,65) = 33,3 A

Zelfde nuttig vermogen, maar 46 % meer stroom. Gevolg: een grotere kabeldoorsnede, een zwaardere zekering, en meer verlies in de leiding — dat verlies is I²·R, dus ruim twee keer zoveel. Bij grotere afnemers komt daar nog een factuur voor blindvermogen bovenop.

Dit is meteen de motivatie voor de arbeidsfactorverbetering met condensatoren, die later dit jaar aan bod komt.