Les 1 — R, L en C bij wisselspanning
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Leerplandoel
- LPD 17 / 39
- Onderdeel
- 1 van 8RLC-blok
Zet een condensator vóór je luidspreker en de bas verdwijnt. Zet er een spoel voor en het hoog verdwijnt. Dezelfde spanning, dezelfde luidspreker — en toch een compleet ander resultaat. Deze les legt uit waarom, en geeft je meteen het gereedschap waarmee je de rest van het RLC-blok zult oplossen: het vectordiagram.
- verklaren waarom de wetten van Kirchhoff bij wisselspanning enkel gelden voor ogenblikkelijke waarden, en waarom effectieve waarden vectorieel opgeteld moeten worden;
- XL en XC berekenen uit L, C en f, met correcte eenheden en op 3 beduidende cijfers;
- voor R, L en C afzonderlijk het vectordiagram tekenen, met de stroom als referentie en de fasehoek correct aangeduid;
- de faseverschuiving fysisch verklaren: de tegen-emk bij de spoel, de ladingsverandering bij de condensator;
- voorspellen hoe XL en XC veranderen met de frequentie, en dat toepassen op de wissel van een luidsprekerbox.
01Wisselspanning — waar we van vertrekken
Een wisselspanning verloopt sinusvormig in de tijd. Je beschrijft ze met drie gegevens:
De hoeksnelheid ω = 2 · π · f duikt zo vaak op dat we ze een eigen symbool geven. Daarmee wordt de uitdrukking korter:
Een meter toont echter niet Û maar de effectieve waarde: de gelijkspanning die in eenzelfde weerstand evenveel warmte zou ontwikkelen. Voor een zuivere sinus geldt:
Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, zijn U en I in dit hele blok effectieve waarden, en u en i ogenblikkelijke waarden. Dat onderscheid is niet muggenzifterij — de volgende paragraaf staat of valt ermee.
02Kirchhoff bij wisselspanning — geldt hij nog?
Je kent de twee wetten uit de tweede graad:
Stroomwet (1ste wet). In elk knooppunt is de som van de toekomende stromen gelijk aan de som van de afgevoerde stromen.
Spanningswet (2de wet). In een gesloten kring is de algebraïsche som van de spanningen gelijk aan nul.
Beide wetten zijn gevolgen van behoudswetten — behoud van lading en behoud van energie. Die gelden op elk ogenblik, ook bij wisselspanning. De wetten van Kirchhoff blijven dus onverkort geldig:
Het meetprobleem
Neem een weerstand R = 30 Ω in serie met een spoel met XL = 40 Ω. Door de kring vloeit 1,0 A. Je meet met de voltmeter:
Er ontbreekt 20 V. Is Kirchhoff dan toch fout? Nee. De fout zit in het optellen zelf. UR en UL bereiken hun maximum niet op hetzelfde ogenblik: bij de spoel ijlt de stroom 90° na op de spanning, dus de spanning over de spoel loopt 90° voor op de spanning over de weerstand. Op het ogenblik dat UR zijn top bereikt, staat UL precies op nul.
Twee grootheden die op verschillende ogenblikken hun maximum bereiken, mag je niet als gewone getallen optellen. Je moet ze optellen zoals je krachten optelt: als vectoren.
Onthoud dit. Kirchhoff geldt altijd, maar alleen voor ogenblikkelijke waarden u en i. Werk je met effectieve waarden U en I — en dat doe je bijna altijd — dan tel je vectorieel op, nooit rekenkundig. Dit is de meest gemaakte fout van het hele RLC-blok.
Een grootheid met zowel een grootte als een hoek noemen we een vector. De hele rest van dit blok bestaat uit één techniek: vectoren tekenen en optellen.
03Hoe teken je een vectordiagram?
Het vectordiagram is geen versiering bij de berekening — het is de berekening. Wie het diagram correct tekent, leest de formule er rechtstreeks uit af. Werk daarom altijd in dezelfde vier stappen.
Stap 1 — kies de gemeenschappelijke grootheid
Kijk naar het schema en vraag je af welke grootheid in alle componenten dezelfde is. Dat volgt rechtstreeks uit Kirchhoff:
| Schakeling | Gemeenschappelijke grootheid | Waarom (Kirchhoff) |
|---|---|---|
| Serie | de stroom I | Stroomwet: er is geen knooppunt, dus dezelfde stroom door elke component. |
| Parallel | de spanning U | Spanningswet: elke tak vormt een gesloten kring met de bron. |
Stap 2 — zet die grootheid horizontaal
De gemeenschappelijke grootheid wordt de referentievector en komt op de horizontale as, met de punt naar rechts. Deze afspraak geldt in het hele blok: actieve grootheden horizontaal, reactieve grootheden verticaal. Wissel nooit van oriëntatie tussen twee lessen — dan zijn je diagrammen niet meer vergelijkbaar.
Stap 3 — draai elke andere vector over zijn fasehoek
Elke overige grootheid teken je onder haar fasehoek φ ten opzichte van de referentie. Tegen de wijzers van de klok is positief (voorijlend), met de wijzers mee is negatief (naijlend). Voor de drie basiscomponenten:
Stap 4 — tel op volgens de kop-staartmethode
Schuif de tweede vector met zijn staart tegen de kop van de eerste, zonder hem te draaien. De som loopt van de oorspronkelijke staart naar de nieuwe kop. Staan de vectoren loodrecht op elkaar — en dat is bij R, L en C altijd zo — dan geeft Pythagoras je de lengte en de tangens je de hoek:
Ezelsbruggetje. Teken je een serieketen, dan begin je altijd met I op de horizontale as. Teken je een parallelketen, dan begin je altijd met U. Wie een diagram begint met een willekeurige vector, krijgt gegarandeerd een verkeerde hoek.
04De zuivere weerstand R
In een weerstand is de stroom op elk ogenblik evenredig met de spanning: i = u / R. Bereikt u zijn maximum, dan doet i dat gelijktijdig. Spanning en stroom zijn in fase.
05De ideale spoel L
Waarom loopt de stroom achter?
Een spoel verzet zich tegen elke verandering van de stroom. Verandert de stroom, dan verandert de magnetische flux door de wikkelingen, en volgens de wet van Faraday–Lenz wekt de spoel een emk op die die verandering tegenwerkt. De stroom kan daardoor niet onmiddellijk volgen: hij komt te laat.
De formule van XL — waar komt ze vandaan?
Voor een spoel geldt op elk ogenblik u = L · (Δi / Δt): de spanning is evenredig met de snelheid waarmee de stroom verandert. Vertrek van een sinusvormige stroom:
Uit deze ene regel lees je meteen twee dingen af. Ten eerste staat er + 90° in het
argument: de stroom loopt een kwart periode na op de spanning. Ten tweede is de piekwaarde van
de spanning gelijk aan ω · L · Î. De verhouding tussen spanning en stroom is dus:
06De ideale condensator C
Waarom loopt de stroom voor?
Door een condensator gaat geen stroom dwars door het diëlektricum. Toch meet je stroom in de draden, want de platen laden en ontladen voortdurend. Er vloeit stroom zolang de lading verandert: i = Δq/Δt = C · Δu/Δt. De stroom is dus maximaal wanneer de spanning het snelst verandert — en dat is bij de nuldoorgang van de spanningssinus, niet bij haar top. Op de top verandert u even niet, en daar is de stroom nul.
De formule van XC
Nu staat de + 90° bij de stroom: die loopt voor. En Î = ω · C · Û, dus:
07Invloed van de frequentie
Vergelijk de twee formules eens naast elkaar. XL staat evenredig met f; XC staat omgekeerd evenredig met f. Ze doen letterlijk het tegenovergestelde.
| f → 0 (gelijkspanning) | f zeer groot | |
|---|---|---|
| Spoel L | XL → 0 Ω : gedraagt zich als een gewone draad (kortsluiting) | XL → ∞ : gedraagt zich als een onderbreking |
| Condensator C | XC → ∞ : gedraagt zich als een onderbreking | XC → 0 Ω : gedraagt zich als een gewone draad |
Controle op je gezond verstand: een condensator die bij gelijkspanning een onderbreking wordt, klopt met wat je in de tweede graad zag — eenmaal geladen loopt er geen gelijkstroom meer. En een spoel is bij gelijkspanning gewoon een stuk koperdraad.
08Samenvattend schema
| R | L | C | |
|---|---|---|---|
| Tegenwerking | weerstand | inductieve reactantie | capacitieve reactantie |
| Formule [Ω] | R | XL = 2·π·f·L | XC = 1/(2·π·f·C) |
| Wet van Ohm | I = U / R | I = U / XL | I = U / XC |
| Fasehoek φ | 0° | + 90° | − 90° |
| Stroom t.o.v. spanning | in fase | ijlt 90° na | ijlt 90° voor |
| Bij stijgende f | onveranderd | stijgt | daalt |
| Werkelijk vermogen | P = U·I | 0 W | 0 W |
Deze tabel groeit met elke les: les 2 voegt de kolom RL toe, les 3 RC, les 4 RLC. Op het einde van het blok heb je één doorlopend overzicht.
09Toepassing — de wissel van een luidsprekerbox
Een driewegbox bevat drie luidsprekers. De woofer is groot en zwaar en kan lage tonen verplaatsen, maar is te traag voor het hoog. De tweeter is licht en snel en doet precies het omgekeerde — geef je hem bas, dan slaat hij aan of brandt hij door. De versterker levert echter één signaal waarin alle frequenties door elkaar zitten. Het filter dat dat signaal verdeelt, heet de wissel.
De redenering is nu rechttoe rechtaan:
- Condensator vóór de tweeter. Bij lage frequentie is XC groot, dus laat de condensator de bas nauwelijks door. Bij hoge frequentie is XC klein en gaat het hoog vlot door. Dit is een hoogdoorlaatfilter.
- Spoel vóór de woofer. Bij lage frequentie is XL klein en gaat de bas vlot door; bij hoge frequentie remt de spoel af. Dit is een laagdoorlaatfilter.
Verwissel je beide componenten, dan krijgt de tweeter de volle bas te verwerken — met kans op schade — en klinkt de box bovendien dun en scherp.
Link met je project. Dit is precies de berekening die je nodig hebt voor het driewegluidsprekerproject. Oefening 12 hieronder is er de rekenkundige kern van.
10Oefeningen
Werk altijd volgens hetzelfde stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Klap de uitwerking pas open nadat je zelf gerekend hebt.
Basis
1. Een weerstand van 470 Ω staat op 230 V / 50 Hz. Bereken de stroom, de fasehoek en het opgenomen vermogen.
Toon de uitwerking
2. Bereken de inductieve reactantie van een spoel met L = 120 mH bij 50 Hz.
Toon de uitwerking
3. Bereken de capacitieve reactantie van een condensator van 10 µF bij 50 Hz.
Toon de uitwerking
Let op de omzetting: 10 µF = 10 · 10−6 F. Dit is de meest gemaakte rekenfout van dit hoofdstuk.
4. Een spoel heeft bij 400 Hz een reactantie van 50 Ω. Bereken haar zelfinductie.
Toon de uitwerking
5. Een condensator van 22 µF staat op 24 V / 1,0 kHz. Bereken XC en de stroom.
Toon de uitwerking
6. Vul aan zonder te rekenen: bij een weerstand is de stroom … de spanning; bij een spoel ijlt de stroom …; bij een condensator ijlt de stroom … . Geef bij elk de fasehoek.
Toon de uitwerking
Ezelsbruggetje: bij de spoeL ijlt de stroom later; bij de C komt de stroom eerst, want er moet eerst lading vloeien vooraleer er spanning staat.
Verdieping
7. Een ideale spoel neemt 2,0 A op bij 230 V / 50 Hz. Bereken XL en L. Wat wordt de stroom als de netfrequentie 60 Hz zou zijn?
Toon de uitwerking
Sneller: XL is evenredig met f, dus I is omgekeerd evenredig met f. I₂ = 2,0 A · (50/60) = 1,67 A. Dit verklaart meteen waarom een transformator uit een 60 Hz-net oververhit raakt op een 50 Hz-net.
8. Een condensator van 4,7 µF en een van 10 µF staan in parallel op 230 V / 50 Hz. Bereken de totale stroom.
Toon de uitwerking
Let op de valkuil: capaciteiten in parallel tel je op, maar de bijhorende reactanties niet — die staan in parallel en worden dus kleiner. Grotere C betekent kleinere XC en dus méér stroom.
9. Op een oscilloscoop zie je over één component een spanning met piekwaarde 10 V en een stroom met piekwaarde 0,50 A. De stroom ijlt 90° voor op de spanning en de periode bedraagt 2,0 ms. Om welke component gaat het? Bereken haar waarde.
Toon de uitwerking
De verhouding Û/Î geeft hier hetzelfde resultaat als U/I, want beide grootheden worden door dezelfde factor √2 gedeeld.
10. Teken de vectordiagrammen van R, L en C boven elkaar op eenzelfde stroomas, telkens met U = 100 V. Hoe groot is de hoek tussen de spanning over de spoel en de spanning over de condensator?
Toon de uitwerking
De drie spanningsvectoren hebben dezelfde lengte (100 V) maar verschillende richting: UR horizontaal, UL recht naar boven, UC recht naar beneden.
Ze staan in tegenfase: ze heffen elkaar gedeeltelijk of volledig op. Dat is de sleutel tot de RLC-serieketen in les 4 — als beide even groot zijn, blijft er niets van over.
Inzicht
11. Toon vertrekkend van u = L · di/dt en i(t) = Î · sin(2πft) aan dat XL = 2πfL, en verklaar waarom de fasehoek precies 90° bedraagt en geen andere waarde.
Toon de uitwerking
De hoek van 90° is geen toeval en geen benadering. De afgeleide van een sinus is een cosinus, en een cosinus is exact een sinus die een kwart periode vroeger op gang komt. Zolang de stroom zuiver sinusvormig is en de spoel ideaal, is de faseverschuiving dus wiskundig noodzakelijk precies 90°.
In werkelijkheid heeft elke spoel ook draadweerstand. Daardoor is de hoek in de praktijk iets kleiner dan 90° — dat wordt precies het onderwerp van les 2, de RL-serieketen.
12. Je ontwerpt de wissel voor je driewegbox. Tweeter en woofer hebben elk een impedantie van 8,0 Ω; het overgangspunt ligt op 3,0 kHz.
a) Bereken C zodat XC = 8,0 Ω bij 3,0 kHz.
b) Bereken L zodat XL = 8,0 Ω bij 3,0 kHz.
c) Bereken XC bij 100 Hz en beoordeel hoeveel bas de tweeter dan nog krijgt.
d) Bereken XL bij 100 Hz en leg uit waarom de woofer daar wél alles doorkrijgt.
e) Waarom moet de condensator uitdrukkelijk niet-gepolariseerd zijn?
Toon de uitwerking
e) Een gepolariseerde elco verdraagt alleen spanning in één richting. Een audiosignaal is een wisselspanning die voortdurend van polariteit wisselt, dus zou zo'n elco lekken, opwarmen en uiteindelijk stukgaan. Je gebruikt daarom een folie- of bipolaire condensator.
De waarden die je hier berekent (enkele µF en een fractie van een mH) zijn precies de ordegrootte die je in een echte wissel terugvindt. Reken je iets van 100 µF of 1 H uit, dan zit er een decimale fout in je berekening.
13. Een spoel van 0,50 H staat op 230 V. Bij welke frequentie neemt zij dezelfde stroom op als een condensator van 10 µF op diezelfde spanning? Bereken die stroom. Wat zou er bij die frequentie gebeuren als je beide in serie zou schakelen?
Toon de uitwerking
In serie staan UL en UC in tegenfase (zie oefening 10). Zijn beide even groot, dan heffen ze elkaar volledig op: de kring gedraagt zich alsof spoel en condensator er niet zijn. Dat verschijnsel heet resonantie en is het onderwerp van les 4.
De formule f = 1/(2π√(LC)) die je hier zelf afleidde, is de resonantieformule. Je hebt ze dus al gevonden voor we er les 4 aan wijden.
Video en simulatie
- PhET — Circuit Construction Kit: AC, Virtual Lab. Bouw een kring met één spoel of één condensator en zet de grafiek van stroom en spanning aan. Zoek het ogenblik waarop u maximaal is en lees af wat i dan doet.
- Vectordiagrammen uitgelegd — TU Delft, Nederlands.
- Inductieve reactantie — TU Delft, Nederlands.
- Spoel en condensator bij lage en hoge frequentie — TU Delft, Nederlands.
- Het signaal naar de juiste luidspreker sturen — TU Delft, Nederlands. Rechtstreekse aansluiting bij het driewegluidsprekerproject.
- Interactief tekstboek Elektriciteit en Magnetisme, hoofdstuk 9 — TU Delft, CC BY-SA.
Vooruitblik op les 2
Tot hiertoe stond er telkens één component alleen op de bron. In de volgende les zetten we een weerstand en een spoel in serie. Je vectordiagram krijgt dan twee vectoren die niet meer op dezelfde lijn liggen — en precies uit dat diagram zul je de impedantie Z = √(R² + XL²) en de fasehoek tan φ = XL/R afleiden. Alles wat je in deze les getekend hebt, komt daar rechtstreeks terug.