De wet van Coulomb
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Hoofdstuk
- Elektrostatica
- Onderdeel
- 02 van 03
Dat gelijknamige ladingen elkaar afstoten, wist je al. Maar hoe hard? Twee keer zoveel lading — is dat twee keer zoveel kracht? En wat gebeurt er als je de afstand verdubbelt? Charles de Coulomb zocht dat in 1785 uit met een torsiebalans, en het antwoord is verrassend eenvoudig: één formule dekt alles.
- de twee evenredigheden benoemen die uit de proef volgen;
- de wet van Coulomb toepassen op twee puntladingen, met eenheden en 3 beduidende cijfers;
- de zin van de kracht bepalen uit de tekens van de ladingen;
- uitleggen wat k, ε₀ en ε_r betekenen en hoe ze samenhangen;
- de resulterende kracht op een lading bepalen als vectoriële som van de deelkrachten.
01Van waarneming naar wet
Uit het vorige onderdeel weet je dat de kracht werkt langs de verbindingslijn van de twee ladingen, en dat de zin bepaald wordt door de tekens. Om ze te kunnen berekenen, heb je twee vragen te beantwoorden: hoe hangt de kracht af van de afstand, en hoe van de grootte van de ladingen? Coulomb beantwoordde ze met twee afzonderlijke proeven.
Proef a — de afstand
Houd beide ladingen constant en verander alleen de afstand. Verdubbel je r, dan zakt de kracht niet naar de helft maar naar een kwart. Verdriedubbel je r, dan blijft er een negende over.
Proef b — de ladingen
Houd de afstand constant en verander één van beide ladingen. Verdubbel je Q₁, dan verdubbelt de kracht. Hetzelfde geldt voor Q₂.
De twee samen
Beide evenredigheden gelden tegelijk, dus je mag ze combineren:
Dat is een evenredigheid, geen gelijkheid. Om er een formule van te maken die getallen oplevert, moet er een constante bij.
02De wet van Coulomb
In lucht of in vacuüm is die constante:
Drie vaste valkuilen.
De afstand staat in het kwadraat, en in meter. Reken 15 cm dus eerst om naar 0,15 m, en kwadrateer daarna: 0,0225 — niet 0,15.
De ladingen staan in coulomb. 5 µC is 5 · 10⁻⁶ C.
In de formule staan de absolute waarden. Vul dus nooit een minteken in. De tekens gebruik je apart, om de zin van de kracht te bepalen.
03Waar komt k vandaan?
De constante k is geen willekeurig getal. Ze hangt samen met een eigenschap van het middenstof tussen de ladingen, de permittiviteit.
Reken het maar na: 1 / (4 · π · 8,8542 · 10⁻¹²) = 8,99 · 10⁹. De twee schrijfwijzen zijn dus identiek. In veel formules schrijf je de wet daarom ook zo:
De extra factor ε_r is de relatieve permittiviteit van het middenstof: hoeveel keer zwakker de kracht wordt als er iets anders dan vacuüm tussen de ladingen zit. Voor lucht is ε_r praktisch gelijk aan 1, en daarom mag je in vrijwel alle oefeningen gewoon met k = 8,99 · 10⁹ werken.
| Middenstof | ε_r (bij benadering) |
|---|---|
| vacuüm | 1 (exact) |
| lucht | 1,0006 |
| papier | 3 |
| glas | 5 … 7 |
| water | 80 |
Dat water een ε_r van ongeveer 80 heeft, is de reden waarom zout in water uiteenvalt in ionen: de aantrekkingskracht tussen Na⁺ en Cl⁻ wordt er tachtig keer zwakker. Dezelfde grootheid kom je later terug tegen bij de condensator, waar ze de capaciteit bepaalt.
04De zin van de kracht
De formule geeft je een getal, geen richting. Die haal je uit de tekens.
| Tekens | Aard | Zin |
|---|---|---|
| + en + of − en − | gelijknamig | afstoting — van elkaar weg |
| + en − | ongelijknamig | aantrekking — naar elkaar toe |
Dit wordt vaak fout gedacht. Als Q₁ tien keer groter is dan Q₂, ondervindt Q₂ dan niet een grotere kracht? Nee. In de formule staat het product Q₁ · Q₂, en dat product is hetzelfde welke lading je ook beschouwt. Beide ladingen ondervinden dus even grote krachten, in tegengestelde zin. Dat is niets anders dan de derde wet van Newton.
05Meerdere ladingen
Staan er drie of meer ladingen, dan bereken je de kracht van elke lading afzonderlijk op de lading die je onderzoekt, en tel je die krachten daarna op als vectoren. Elke lading werkt alsof de andere er niet zijn — dat heet het superpositiebeginsel.
Uitgewerkt voorbeeld
Drie ladingen liggen op één rechte lijn: q₁ = +4,0 µC in de oorsprong, q₂ = −2,0 µC op 0,30 m, en q₃ = +3,0 µC op 0,70 m van q₁. Bereken de resulterende kracht op q₂.
Stap 1 — de kracht van q₁ op q₂. Afstand 0,30 m.
q₁ is positief, q₂ negatief: aantrekking. q₂ wordt dus naar q₁ getrokken, naar links.
Stap 2 — de kracht van q₃ op q₂. Afstand 0,70 − 0,30 = 0,40 m.
q₃ is positief, q₂ negatief: opnieuw aantrekking, maar nu naar rechts.
Stap 3 — optellen. Beide krachten liggen op één rechte, dus je telt algebraïsch op. Neem naar rechts positief.
06Coulomb naast Newton
Zet de wet van Coulomb eens naast de gravitatiewet en de gelijkenis springt in het oog:
| Coulombkracht | Gravitatiekracht | |
|---|---|---|
| Formule | F = k · Q₁·Q₂ / r² | F = G · m₁·m₂ / r² |
| Constante | k = 8,99·10⁹ | G = 6,67·10⁻¹¹ |
| Grootheid | lading, + of − | massa, altijd positief |
| Zin | aantrekkend of afstotend | altijd aantrekkend |
| Afstand | omgekeerd kwadratisch | omgekeerd kwadratisch |
Dezelfde vorm, maar een gigantisch verschil in sterkte. Tussen twee protonen is de elektrische afstoting ongeveer 10³⁶ keer groter dan hun onderlinge aantrekking door zwaartekracht. Bij alles wat je in dit vak berekent, mag je de gravitatie dus zonder meer verwaarlozen.
07Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Reken met k = 8,99 · 10⁹ N·m²/C².
Basis
1. Twee puntladingen van +3,0 µC en −5,0 µC staan 20 cm uit elkaar. Bereken de kracht en zeg of ze elkaar aantrekken of afstoten.
Toon de uitwerking
De ladingen hebben een tegengesteld teken, dus de kracht is aantrekkend.
2. Twee gelijke ladingen Q staan 5,0 cm uit elkaar en stoten elkaar af met 0,36 N. Bereken Q.
Toon de uitwerking
De ladingen stoten af, dus ze zijn gelijknamig: beide +0,316 µC of beide −0,316 µC.
3. Je verdubbelt de afstand tussen twee ladingen. Hoeveel keer kleiner wordt de kracht? En als je bovendien één van de ladingen verdrievoudigt?
Toon de uitwerking
Afstand maal 2 ⇒ kracht gedeeld door 2² = 4.
Eén lading maal 3 ⇒ kracht maal 3. Samen: 3/4 van de oorspronkelijke kracht, dus 0,75 · F.
Verdieping
4. Drie ladingen liggen op een rechte lijn. q₁ = +4,0 µC in de oorsprong, q₂ = −2,0 µC op 0,30 m van q₁, en q₃ = +3,0 µC op 0,70 m van q₁. Bereken de totale kracht op q₂.
Toon de uitwerking
Dit is het uitgewerkte voorbeeld uit §5. Werk het zelf opnieuw uit voor je het antwoord nakijkt.
5. Twee ladingen van elk +2,0 µC staan 40 cm uit elkaar. Een derde lading van +1,0 µC staat precies in het midden. Bereken de kracht erop. Verschuif die lading daarna 5,0 cm naar rechts en bereken opnieuw.
Toon de uitwerking
In het midden. Beide afstanden zijn 0,20 m en beide ladingen zijn even groot, dus de twee deelkrachten zijn even groot en tegengesteld: F_R = 0 N.
5,0 cm naar rechts. Nu is r₁ = 0,25 m en r₂ = 0,15 m.
De kracht duwt de lading altijd terug naar het midden: het middelpunt is een evenwichtspositie.
6. In een waterstofatoom draait het elektron op ongeveer 5,3 · 10⁻¹¹ m van het proton. Bereken de coulombkracht tussen beide.
Toon de uitwerking
Een piepklein getal in absolute zin, maar op de schaal van een elektron is het enorm: het houdt het elektron in zijn baan.
Inzicht
7. Op een rechte lijn staan een lading −Q en een lading +3Q, 35 cm uit elkaar. Punt B ligt op 10 cm van −Q, punt A op 20 cm van −Q. In B plaats je een positieve proeflading van 5,0 µC; die ondervindt een kracht van 20 N.
a) Wat is de zin van die kracht?
b) Bepaal Q.
c) Hoe groot wordt de kracht als je de proeflading in A zet?
d) Bestaat er een plaats waar de kracht op de proeflading nul is? Zo ja, waar?
Toon de uitwerking
a) De proeflading is positief. Ze wordt aangetrokken door −Q (naar links) en afgestoten door +3Q (ook naar links). Beide deelkrachten wijzen dezelfde kant op, dus de resulterende kracht ligt naar links, naar −Q toe.
b) Beide krachten tellen gewoon op. Afstand van −Q tot B is 0,10 m; van +3Q tot B is 0,10 + 0,15 = 0,25 m.
c) In A is de afstand tot −Q gelijk aan 0,20 m en tot +3Q gelijk aan 0,15 m.
d) Tussen de twee ladingen wijzen beide deelkrachten naar links — daar is de som dus nooit nul. Rechts van +3Q wijzen ze allebei naar rechts. Alleen links van −Q werken ze tegengesteld: de aantrekking door −Q trekt naar rechts, de afstoting door +3Q duwt naar links.
Op ongeveer 48 cm links van −Q is de kracht nul. Dat het nulpunt aan de kant van de kleinste lading ligt, is logisch: alleen daar kan de kleinere lading haar achterstand in grootte goedmaken met een kleinere afstand.
8. Toon door narekenen aan dat k = 1/(4πε₀) het getal 8,99 · 10⁹ oplevert, en controleer of de eenheden kloppen.
Toon de uitwerking
De eenheid van ε₀ is F/m, en 1 F = 1 C/V = 1 C²/(N·m). Dus F/m = C²/(N·m²), en het omgekeerde daarvan is N·m²/C² — precies de eenheid van k.
9. Bereken de verhouding tussen de coulombkracht en de gravitatiekracht voor twee protonen. Gebruik m_p = 1,673 · 10⁻²⁷ kg en G = 6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg². Waarom valt het antwoord niet af te lezen aan de afstand?
Toon de uitwerking
Beide krachten hangen op precies dezelfde manier af van r, dus de r² valt boven en onder weg. De verhouding is daarom een vast getal, ongeacht hoe ver de protonen uit elkaar staan.
Vooruitblik
Met de wet van Coulomb kun je de kracht berekenen zodra je twee ladingen kent. Maar wat als je wilt weten wat een lading op een bepaalde plaats zou ondervinden, nog voor je die lading daar gezet hebt? Daarvoor bestaat het veldbegrip — het volgende onderdeel.