Les 6 — Gemengde schakelingen
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Leerplandoel
- LPD 17 / 39
- Onderdeel
- 6 van 8RLC-blok
Tot nu toe stond alles ofwel in serie, ofwel parallel. In de praktijk is dat zelden zo. Een spoel heeft draadweerstand, dus een spoel is eigenlijk altijd al R in serie met L. Zet daar een condensator parallel over — bij een TL-lamp, bij een motor, bij een filter — en je hebt een gemengde schakeling. Er is dan geen enkele grootheid meer die voor de hele keten gemeenschappelijk is. Deze les laat zien hoe je daar toch doorheen komt.
- de wetten van Kirchhoff in vectoriële vorm toepassen op een gemengde schakeling;
- uitleggen waarom je twee aparte vectordiagrammen nodig hebt en hoe je ze combineert;
- de lijnstroom berekenen met de cosinusregel en met de componentenmethode;
- Z en φ bepalen van een RL-tak parallel met C;
- de drie belastingsgevallen herkennen en de resonantievoorwaarde C = L/(R² + XL²) afleiden;
- de resonantiefrequentie fr = (1/2π)·√(1/LC − R²/L²) afleiden en gebruiken;
- elke gemengde schakeling oplossen met de complexe methode.
01R in serie met L, parallel met C
Dit is de basisvorm waarop bijna alles teruggaat: één tak met een reële spoel — dus R in serie met L — en daarover een condensator.
Waarom staat er telkens "vectorieel" bij? Bij gelijkstroom mag je gewoon optellen. Bij wisselstroom bereiken de deelstromen hun maximum niet op hetzelfde ogenblik, en dan geldt de rekenkundige som niet meer. IRL = 1,94 A en IC = 1,88 A samen kunnen 0,45 A opleveren — dat zie je in oefening 1.
02Twee vectordiagrammen combineren
Bij een serieketen was de stroom je referentie, bij een parallelketen de spanning. Hier heb je allebei: binnen de RL-tak is de stroom gemeenschappelijk, tussen de twee takken is de spanning gemeenschappelijk. Er is dus geen enkele grootheid die voor de hele keten geldt.
De uitweg is eenvoudig: teken twee aparte diagrammen en voeg ze pas daarna samen.
Waarom de spanning? Omdat U over beide takken dezelfde is. De RL-tak deelt zijn spanning met de condensator, niet zijn stroom. Draai het eerste diagram dus zó dat U horizontaal komt te liggen, en teken daarna IC loodrecht omhoog.
03De stroomdriehoek en de cosinusregel
De drie stromen vormen een driehoek, maar geen rechthoekige driehoek — en dus gaat de stelling van Pythagoras hier niet op. Je hebt de cosinusregel nodig.
Die hoek β heeft op zich weinig elektrische betekenis, maar je kunt hem wegwerken. In de driehoek geldt:
04De impedantie en de hoek φ
De totale impedantie volgt zoals altijd uit de wet van Ohm:
Voor de fasehoek φ tussen de bronspanning en de lijnstroom ontbindt je beide takstromen in een component langs U en een component loodrecht op U. IC staat volledig loodrecht, IRL heeft van beide.
Die tweede uitdrukking voor I moet natuurlijk hetzelfde geven als de cosinusregel — reken het bij een oefening eens na als controle. De componentenmethode heeft één groot voordeel: ze levert φ er meteen bij, terwijl de cosinusregel alleen de grootte geeft. Een positieve Ib betekent inductief en dus een stroom die naijlt, net als in de vorige lessen.
05De drie belastingsgevallen
Of de keten zich inductief, capacitief of zuiver ohms gedraagt, hangt af van de verhouding tussen IC en de blindcomponent van IRL.
| Voorwaarde | Karakter | Stroom t.o.v. U | Voorwaarde in C |
|---|---|---|---|
| IC > IRL·sin φRL | capacitief | ijlt voor | C > L/(R² + XL²) |
| IC = IRL·sin φRL | ohms (resonantie) | in fase | C = L/(R² + XL²) |
| IC < IRL·sin φRL | inductief | ijlt na | C < L/(R² + XL²) |
De voorwaarde omzetten naar C
Die rechterkolom lees je niet zomaar af. Ze volgt uit het invullen van de drie grootheden:
06De resonantiefrequentie
Uit die voorwaarde leid je rechtstreeks af bij welke frequentie de keten in resonantie komt. Vul XL = 2πfrL in en werk uit naar fr:
Hier komt les 5 terug. Voor een ideale spoel — dus R = 0 — valt de tweede term weg en blijft fr = 1/(2π√(LC)) over: precies de formule uit de vorige les. De draadweerstand trekt er een positief getal van af onder het wortelteken, en dus ligt de echte resonantiefrequentie lager. Dat is het antwoord op oefening 9b van les 5, nu met een formule erbij.
Nog een gevolg: wordt R zó groot dat R²/L² ≥ 1/(LC), dan staat er een negatief getal onder de wortel. Resonantie is dan onmogelijk, hoe je de frequentie ook instelt. De grensvoorwaarde is R < √(L/C).
07De complexe methode
De cosinusregel werkt, maar wordt snel onwerkbaar zodra er meer dan twee takken zijn. Met complexe getallen reken je elke gemengde schakeling op dezelfde manier uit, ongeacht hoe ingewikkeld ze is.
Stap 1. Zet elke tak om in een complexe impedantie.
Stap 2. Bereken de takstromen met I = U / Z, of eerst de totale Z en dan de lijnstroom.
Stap 3. Tel de stromen op in rechthoekige vorm.
Stap 4. Zet het resultaat om in poolvorm: de modulus is de stroomsterkte, het argument is de fasehoek φ.
Het grote voordeel: je krijgt de hoek er gratis bij, en je hoeft nooit te beslissen of iets inductief of capacitief is — het teken van het imaginaire deel zegt het.
08Elke gemengde schakeling, stap voor stap
Zodra er meer dan twee takken zijn, werk je van binnen naar buiten: herleid eerst elke parallelgroep tot één vervangende impedantie, en verwerk die daarna in serie.
Stap 4 is de scharnierstap: zodra je de spanning over de parallelgroep kent, valt die groep weer uiteen in twee gewone takken die je elk apart kunt doorrekenen. Wil je daarna nog de spanning over een afzonderlijke component, dan vermenigvuldig je de stroom door die tak met de impedantie van die component.
Controle die altijd werkt. Tel op het einde de deelspanningen van de takken in serie weer vectorieel op. Kom je niet op de bronspanning uit, dan zit er ergens een fout. In oefening 8 levert UZ12 + UZ3 precies 220 V op.
09Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Werk bij de complexe oefeningen consequent met poolvorm voor delen en vermenigvuldigen, en met rechthoekige vorm voor optellen.
Basis
1. Een inductieve keten met ohmse weerstand van 6,0 Ω en L = 0,080 H is aangesloten op 50 V / 50 Hz. Welke condensator moet je parallel schakelen om resonantie te krijgen? Bereken ook de stroom in de voedingslijn bij resonantie.
Toon de uitwerking
Bij resonantie valt de blindcomponent weg en blijft alleen de werkcomponent van IRL over:
Controle met de cosinusregel: XC = 1/(2π·50·1,198·10⁻⁴) = 26,6 Ω, dus IC = 50/26,6 = 1,88 A en sin φRL = 25,1/25,8 = 0,973.
Merk op hoe klein de lijnstroom is tegenover de twee takstromen — dat is de kringstroom uit les 5, nu met een reële spoel.
2. Een inductieve keten met L = 0,40 H en R = 300 Ω staat parallel met een condensator van 0,50 µF. Bij welke frequentie is de hoofdstroom in fase met de bronspanning?
Toon de uitwerking
Zonder de draadweerstand zou je 356 Hz uitkomen. De weerstand drukt de resonantiefrequentie dus met ruim 20 Hz naar beneden.
3. Een RL-tak met R = 30 Ω en XL = 40 Ω staat parallel met een condensator met XC = 100 Ω, op 230 V. Bereken IRL, IC, I, φ en Z.
Toon de uitwerking
Ib is positief, dus de keten is inductief: de stroom ijlt 26,6° na op de spanning.
Verdieping
4. Een TL-schakeling heeft een weerstandswaarde van 200 Ω en een zuivere zelfinductiecoëfficiënt van 1,744 H, aangesloten op 230 V / 50 Hz. Er wordt een condensator van 4,0 µF parallel geplaatst. Bereken IRL, IC, I, Z, φ en fr. Op welke twee manieren kun je de kring in resonantie brengen?
Toon de uitwerking
De stroom ijlt 31,0° na op de spanning: de keten is nog altijd inductief. Met 4,0 µF is de condensator dus te klein om te compenseren.
Twee manieren om in resonantie te komen.
Ofwel laat je de frequentie op 50 Hz en pas je C aan tot C = L/(R² + XL²) = 1,744/340 188 = 5,13 µF.
Ofwel houd je C op 4,0 µF en breng je de frequentie naar 57,4 Hz. In een net kun je dat natuurlijk niet, dus in de praktijk kies je altijd de condensator.
5. In een inductieve kring ijlt een stroom van 1,0 A 50° na op de spanning van 100 V / 50 Hz. Je schakelt een condensator van 20 µF parallel. Bepaal de resulterende stroom en de faseverschuiving tussen bronspanning en opgenomen stroom.
Toon de uitwerking
De stroom daalt van 1,0 A naar 0,657 A en de fasehoek van 50° naar 12,1°, allebei zonder dat de belasting zelf iets minder krijgt. De condensator neemt de blindstroom voor zijn rekening.
6. Een spoel met L₁ = 0,15915 H staat in serie met R₁ = 70 Ω. Parallel daarover staat een weerstand R₂ = 120 Ω. Het geheel hangt aan 120 V / 50 Hz. Bereken I₁, I₂, I, φ en Z.
Toon de uitwerking
De stroom ijlt 20,8° na op de spanning: inductief.
Inzicht
7. Een spoel met L₁ = 0,25465 H in serie met R₁ = 100 Ω staat parallel met een spoel L₂ = 0,191 H in serie met R₂ = 30 Ω, op 100 V / 50 Hz. Bereken de totale impedantie, de hoofdstroom en de twee takstromen. Controleer je antwoord op twee manieren.
Toon de uitwerking
Controle 1 — via de takstromen. I₁ + I₂ = (0,610 − j0,488) + (0,666 − j1,333) = 1,276 − j1,821, dus 2,22 A ∠ −55,0°. Hetzelfde resultaat.
Controle 2 — plausibiliteit. Beide takken zijn inductief, dus de resultante moet tussen −38,66° en −63,43° liggen. −55,0° ligt daartussen, en dichter bij de tak met de grootste stroom (I₂). Dat klopt.
8. Een spoel met XL1 = 3,0 Ω staat in serie met R₁ = 6,0 Ω. Parallel daarover staat een condensator met XC2 = 6,0 Ω in serie met R₂ = 8,0 Ω. Die parallelschakeling staat in serie met R₃ = 4,0 Ω en XL3 = 5,0 Ω. Het geheel hangt aan 220 V / 50 Hz. Bereken I₁, I₂, de hoofdstroom, de totale impedantie en de faseverschuiving. Controleer daarna met de spanningswet.
Toon de uitwerking
De stroom ijlt 30,7° na op de bronspanning: de keten is inductief.
Controle met de spanningswet.
Let op dat I₂ een positieve hoek heeft: die tak op zich is capacitief, want XC2 is er groter dan de reactantie van de spoel. De keten als geheel blijft toch inductief, door Z₃.
9. a) Toon aan dat fr = (1/2π)·√(1/LC −
R²/L²) overgaat in de formule van les 5 zodra de spoel ideaal is.
b) Bij welke waarde van R wordt resonantie onmogelijk? Ga na of dat in oefening 2 een probleem is.
c) Twee spoelen hebben dezelfde L maar een verschillende draadweerstand. Welke van de twee komt bij de
hoogste frequentie in resonantie met dezelfde condensator?
Toon de uitwerking
a) Voor een ideale spoel is R = 0, dus de term R²/L² valt weg:
Dat is exact de formule voor de ideale parallelketen. De algemene vorm bevat de ideale dus als bijzonder geval.
b) Onder de wortel moet een positief getal staan:
Voor oefening 2: √(L/C) = √(0,40 / 0,50·10⁻⁶) = √800 000 = 894 Ω. De weerstand van 300 Ω ligt daar ruim onder, dus resonantie is daar mogelijk. Was R groter geweest dan 894 Ω, dan had geen enkele frequentie gewerkt.
c) De spoel met de kleinste draadweerstand. Hoe kleiner R, hoe kleiner de aftrekterm R²/L², hoe groter het getal onder de wortel en dus hoe hoger fr. Een spoel van betere kwaliteit ligt dus dichter bij de ideale waarde 1/(2π√(LC)).
Vooruitblik
Met de complexe methode uit §7 en het stappenplan uit §8 kun je in principe elke passieve wisselstroomketen doorrekenen, hoeveel takken er ook zijn. Wat nog ontbreekt is wat die stromen en spanningen kosten: het vermogen, de arbeidsfactor en de compensatie ervan. Dat is het onderwerp van een apart hoofdstuk.