Les 7 — De complexe rekenwijze — 5TWE

Cursus TWE — RLC-blok Les 7 van 8

Les 7 — De complexe rekenwijze

Vak: Elektriciteit
Klas: 5TWE
Leerplandoel: LPD 17 / 39
Onderdeel: 7 van 8RLC-blok

Teken het vectordiagram van een keten met vijf takken en je bent een halve bladzijde verder voor je één getal berekend hebt. De grafische methode werkt, maar ze schaalt niet. Deze les vervangt ze door iets wat wél schaalt: elke vector wordt één getal, en optellen, delen en draaien worden gewone rekenbewerkingen.

Na deze les kun je

uitleggen waarom de grafische methode tekortschiet bij samengestelde ketens;
j = √−1 verklaren als een draaiing over 90° in tegenwijzerzin;
een complex getal noteren in cartesiaanse en in polaire vorm, en tussen beide omrekenen;
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met complexe getallen, telkens in de juiste notatievorm;
R, L en C omzetten naar hun complexe impedantie;
een volledige RLC-keten doorrekenen met de complexe rekenwijze en het antwoord interpreteren.

01Waarom een tweede methode?

Bij wisselstroom zijn de elektrische grootheden in een keten meestal in fase verschoven ten opzichte van elkaar. Dat maakt de formules al snel ingewikkeld. In de elektrotechniek kom je bovendien voortdurend samengestelde ketens tegen: serie en parallel door elkaar.

Fig. 01Een RLC-filter: R_in in serie, en daarachter een condensator parallel met een spoel en een weerstand in serie. Voor zo'n keten is één vectordiagram niet genoeg.

Eerste methode — het vectordiagram

De tekening grafisch analyseren en uitwerken, daaruit formules opstellen, en met die formules de grootheden berekenen. Dat heb je in de vorige lessen gedaan.

Nadeel : deze methode vergt veel tijd voor ingewikkelde schakelingen.

Tweede methode — werken met complexe getallen

Complexe rekenwijze : elke vector (spanning, stroom, …) wordt voorgesteld als een samengesteld getal, een complex getal. Met complexe getallen kunnen gemakkelijk berekeningen gemaakt worden zonder dat er van de schakeling een vectordiagram opgesteld wordt.

Let op wat dat betekent: je hoeft niets meer te tekenen. Alle informatie die in het vectordiagram zat — grootte én fase — zit nu in één getal.

02De betekenis van het getal j

Een vector in een vlak heeft een grootte en een richting. Het hele idee achter de complexe rekenwijze is dat je die richting kunt vastleggen met een getal. Dat getal is j.

Fig. 02Vermenigvuldigen met j draait de vector 90° in tegenwijzerzin. Vier keer vermenigvuldigen brengt je terug bij het begin.

Beschouw de vector A langs de positieve reële as. Draai je hem 90° in tegenwijzerzin, dan ligt hij op de imaginaire as. Die ene verdraaiing van 90° stellen we voor door een vermenigvuldiging met j.

Draai je nog eens 90°, dan wijst de vector precies de andere kant op — hij is van teken veranderd. En daar zit het hele geheim:

j² · A = − A j² = − 1

j = √−1

Macht	Waarde	Draaiing
j¹	j	90°
j²	−1	180°
j³	−j	270°
j⁴	+1	360°

Waarom j en niet i? In de wiskunde heet dit getal i. In de elektrotechniek is i al bezet: dat is de ogenblikkelijke stroom. Om verwarring te vermijden schrijven elektrotechnici altijd j.

Eén regel die je voortdurend nodig hebt: 1/j = −j. Vermenigvuldig teller en noemer met j en je krijgt j/j² = j/(−1) = −j. Precies daarom staat er straks een minteken bij de condensator.

03Cartesiaanse notatie

Een complex getal bestaat uit twee delen: een stuk langs de reële as en een stuk langs de imaginaire as.

Fig. 03Hetzelfde getal, twee schrijfwijzen. Links met zijn componenten, rechts met zijn lengte en zijn hoek.

A = a + j·b a = het reële gedeelte b = het imaginaire gedeelte

Twee begrippen horen daarbij.

Modulus : de grootte van de vector, in absolute waarde |A| = √( a² + b² ) Argument : de hoek die de vector maakt met de positieve reële as φ = tan⁻¹ ( b / a )

Het kwadrant — hier gaat het vaak mis. Je rekenmachine geeft bij tan⁻¹ altijd een hoek tussen −90° en +90°. Ligt het reële gedeelte links van de as, dan klopt die hoek niet en moet je er 180° bij optellen.

Voorbeeld: A = −6 − j12 geeft tan⁻¹(−12/−6) = tan⁻¹(2) = 63,43°. Maar zowel het reële als het imaginaire deel is negatief, dus de vector ligt in het derde kwadrant. Het juiste argument is 63,43° + 180° = 243,43°.

Vuistregel: is a negatief, tel dan 180° bij het resultaat op. Teken desnoods een ruw schetsje — dat kost vijf seconden en bespaart een fout antwoord.

04Polaire notatie

Je kunt dezelfde vector ook vastleggen met zijn lengte en zijn hoek. Dat heet de polaire notatie.

A = R ∠ φ = modulus ∠ argument van cartesiaans naar polair : R = √(a² + b²) φ = tan⁻¹(b/a) van polair naar cartesiaans : a = R · cos φ b = R · sin φ

Een voorbeeld. Het getal 3 + 2j heeft modulus √(3² + 2²) = 3,61 en argument tan⁻¹(2/3) = 33,7°, dus 3 + 2j = 3,61 ∠ 33,7°. Allebei dezelfde vector, alleen anders opgeschreven.

05Rekenen: welke vorm wanneer?

De twee notaties zijn niet zomaar smaakverschil. Elke bewerking is in één van beide vormen eenvoudig, en in de andere lastig.

Optellen en aftrekken — cartesiaans

A₁ = a₁ + j·b₁ A₂ = a₂ + j·b₂ A₁ + A₂ = (a₁ + a₂) + j·(b₁ + b₂) A₁ − A₂ = (a₁ − a₂) + j·(b₁ − b₂) reële gedeelte imaginaire gedeelte

Je telt dus gewoon de reële delen bij elkaar op en de imaginaire delen bij elkaar. Verder niets.

Vermenigvuldigen en delen — polair

A₁ = R₁ ∠ φ₁ A₂ = R₂ ∠ φ₂ A₁ · A₂ = R₁ · R₂ ∠ (φ₁ + φ₂) A₁ / A₂ = (R₁ / R₂) ∠ (φ₁ − φ₂)

Moduli vermenigvuldig of deel je, argumenten tel je op of trek je af. Meer is het niet.

Dezelfde bewerkingen cartesiaans

Het kan ook in cartesiaanse vorm, maar je ziet meteen waarom dat geen pretje is:

A₁ · A₂ = (a₁ + j·b₁)(a₂ + j·b₂) = a₁a₂ + j·a₁b₂ + j·b₁a₂ + j²·b₁b₂ = (a₁a₂ − b₁b₂) + j·(a₁b₂ + b₁a₂)

Bij een deling moet je bovendien de noemer reëel maken. Dat doe je door teller én noemer te vermenigvuldigen met de complex toegevoegde van de noemer — hetzelfde getal met een omgekeerd teken voor het imaginaire deel:

A₁ / A₂ = (a₁ + j·b₁)(a₂ − j·b₂) / ((a₂ + j·b₂)(a₂ − j·b₂)) = (a₁a₂ + b₁b₂)/(a₂² + b₂²) + j·(a₂b₁ − a₁b₂)/(a₂² + b₂²)

Merk op dat de noemer (a₂ + j·b₂)(a₂ − j·b₂) = a₂² + b₂² wordt: de j verdwijnt volledig. Dat is precies het nut van de complex toegevoegde.

Bewerking	Beste vorm	Waarom
optellen, aftrekken	cartesiaans	deel per deel optellen
vermenigvuldigen, delen	polair	moduli maal/gedeeld, hoeken plus/min

De werkwijze die altijd lukt. Zet alles waar je mee begint om in de vorm die je nodig hebt, reken, en zet het antwoord op het einde om in de vorm die gevraagd wordt. Heen en weer springen midden in een berekening is de snelste manier om jezelf kwijt te raken.

06Van component naar complexe impedantie

Nu de stap naar de elektriciteit. In les 4 tekende je de spanningsdriehoek en deelde je elke zijde door de gemeenschappelijke stroom om de impedantiedriehoek te krijgen. Plaats die impedantiedriehoek nu in het cartesiaanse assenstelsel en je hébt de complexe schrijfwijze.

Fig. 04Links de spanningsdriehoek uit les 4. Deel elke zijde door I en je krijgt de impedantiedriehoek — die past precies in het complexe vlak.

Elke component krijgt daardoor een eigen richting:

Fig. 05De weerstand ligt op de reële as, de spoel wijst omhoog, de condensator omlaag. De faseverschuivingen uit les 1 zitten nu in het teken van j.

de weerstand R → R = R + j·0 = R ∠ 0° de spoel L → X_L = 0 + j·X_L = X_L ∠ 90° de condensator C → X_C = 0 − j·X_C = X_C ∠ −90°

Het minteken bij de condensator is geen afspraak maar een gevolg. De reactantie van een condensator is 1/(jωC), en omdat 1/j = −j wordt dat −j/(ωC) = −j·X_C.

De totale impedantie van een serieketen

Z = R + X_L + X_C = R + j·0 + 0 + j·X_L + 0 − j·X_C

Z = R + j·(X_L − X_C) = √( R² + (X_L − X_C)² ) ∠ tan⁻¹ ( (X_L − X_C) / R )

Herken je die modulus? Dat is exact de formule voor Z uit les 4. De complexe rekenwijze vervangt dus niets — ze zet dezelfde natuurkunde in een vorm waarmee je vlotter rekent, én ze geeft je de fasehoek er gratis bij.

07De wet van Ohm in complexe vorm

I = U / Z U = I · Z Z = U / I

Je legt de bronspanning altijd langs de reële as: U = U ∠ 0°. Het argument van de stroom dat je dan uitrekent, is meteen de faseverschuiving φ ten opzichte van die bronspanning.

Argument van Z	Argument van I	Karakter	Betekenis
positief	negatief	inductief	de stroom ijlt na op de spanning
nul	nul	ohms	in fase — resonantie
negatief	positief	capacitief	de stroom ijlt voor op de spanning

08Uitgewerkt voorbeeld

Een condensator C = 20 µF en een spoel met L = 85 mH staan in serie met een weerstand R = 500 Ω, op 230 V / 50 Hz. Bereken I, Z, φ en de deelspanningen.

Stap 1 — de reactanties.

X_L = 2 · π · 50 · 0,085 = 26,7 Ω X_C = 1 / (2 · π · 50 · 20·10⁻⁶) = 159,15 Ω

Stap 2 — elke component complex.

R = 500 + j·0 = 500 ∠ 0° X_L = 0 + j·26,7 = 26,7 ∠ 90° X_C = 0 − j·159,15 = 159,15 ∠ −90°

Stap 3 — optellen in cartesiaanse vorm, dan omzetten.

Z = 500 + j·0 + 0 + j·26,7 + 0 − j·159,15 = 500 − j·132,45 = √(500² + 132,45²) ∠ tan⁻¹(−132,45 / 500) = 517,25 Ω ∠ −14,84°

Stap 4 — delen in polaire vorm.

I = U / Z = 230 ∠ 0° / 517,25 ∠ −14,84° = 0,445 A ∠ + 14,84°

Het argument van de stroom is positief: de stroom ijlt 14,8° voor op de spanning. De keten is dus capacitief — logisch, want X_C is hier veel groter dan X_L.

Stap 5 — de deelspanningen. Vermenigvuldigen doe je opnieuw polair.

U_R = I · R = 0,445 ∠ 14,84° · 500 ∠ 0° = 222,5 V ∠ 14,84° U_L = I · X_L = 0,445 ∠ 14,84° · 26,7 ∠ 90° = 11,88 V ∠ 104,84° U_C = I · X_C = 0,445 ∠ 14,84° · 159,15 ∠ −90° = 70,82 V ∠ −75,16°

Controleer altijd met de spanningswet. Zet de drie deelspanningen om naar cartesiaanse vorm en tel ze op:

214,9 + j56,9 − 3,0 + j11,5 + 18,1 − j68,4 = 230,0 + j0,0

Dat is precies de bronspanning. Komt er iets anders uit, dan zit er een fout in je berekening — en meestal is dat een verkeerd kwadrant.

09Oefeningen

Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op 3 beduidende cijfers. Optellen en aftrekken doe je cartesiaans, vermenigvuldigen en delen polair.

Basis

1. Bereken:
a) (2 − 4j) + 5j b) 3(−1 + j) + (4 − 2j) c) 2 + 6j − (3 + 4j)
d) 2(−3 + 2j) − 4(1 + 3j) e) j − 2(3 − j) + 2(j − 4) f) j + j² + j³ + j⁴ + j⁵

Toon de uitwerking

a) 2 − 4j + 5j = 2 + j b) −3 + 3j + 4 − 2j = 1 + j c) 2 + 6j − 3 − 4j = −1 + 2j d) −6 + 4j − 4 − 12j = −10 − 8j e) j − 6 + 2j + 2j − 8 = −14 + 5j f) j + (−1) + (−j) + 1 + j = j

Bij f) vallen de eerste vier termen weg: j − 1 − j + 1 = 0. Er blijft alleen j⁵ = j over. Dat is de periodiciteit uit de tabel in §2 — om de vier machten begin je opnieuw.

2. Gegeven het getal z = 5 + 2j.
a) Bereken z × z.
b) Beantwoord vraag a ook voor het algemene getal z = c + dj.

Toon de uitwerking

a) (5 + 2j)(5 + 2j) = 25 + 10j + 10j + 4j² = 25 + 20j − 4 = 21 + 20j b) (c + dj)(c + dj) = c² + jcd + jcd + j²d² = (c² − d²) + j·2cd reële deel imaginaire deel

3. Zet om naar polaire vorm: 3 + 2j en 4 + j18. Zet daarna 13,42 ∠ 243,43° om naar cartesiaanse vorm.

Toon de uitwerking

3 + 2j : R = √(3² + 2²) = 3,61 φ = tan⁻¹(2/3) = 33,7° ⇒ 3,61 ∠ 33,7° 4 + j18 : R = √(4² + 18²) = 18,44 φ = tan⁻¹(18/4) = 77,47° ⇒ 18,44 ∠ 77,47° 13,42 ∠ 243,43° : a = 13,42 · cos 243,43° = −6,00 b = 13,42 · sin 243,43° = −12,0 ⇒ −6,00 − j12,0

Merk op dat het laatste getal in het derde kwadrant ligt: beide delen zijn negatief. Dat klopt met een argument tussen 180° en 270°.

Verdieping

4. a) Maak de som van A₁ = 13 − j4 en A₂ = 7 + j3.
b) Maak het verschil van A₁ = 3 + j8 en A₂ = −9 + j12.
Teken beide resultaten in het assenstelsel.

Toon de uitwerking

a) (13 + 7) + j(−4 + 3) = 20 − j1 b) (3 − (−9)) + j(8 − 12) = 12 − j4

Bij b) let je op het dubbele minteken: 3 − (−9) is 3 + 9. Dat is de meest gemaakte fout bij aftrekkingen.

5. Drie stromen komen samen in een punt en vormen één resulterende stroom I = −12 + j6. Bereken I₃ als je weet dat I₁ = 3 − j4 en I₂ = 2 + j3. Geef het antwoord ook in polaire vorm.

Toon de uitwerking

stroomwet : I₁ + I₂ + I₃ = I I₃ = I − I₁ − I₂ = (−12 + j6) − (3 − j4) − (2 + j3) = −12 + j6 − 3 + j4 − 2 − j3 = −17 + j7 polair : R = √(17² + 7²) = 18,4 A a is negatief ⇒ φ = tan⁻¹(7/−17) + 180° = 157,6° I₃ = 18,4 A ∠ 157,6°

6. Gegeven A₁ = 4 + j18 en A₂ = −6 − j12. Bereken A₁ · A₂ en A₁ / A₂, eerst cartesiaans en daarna polair. Controleer dat beide wegen hetzelfde opleveren.

Toon de uitwerking

Cartesiaans.

(4 + j18)(−6 − j12) = −24 − j48 − j108 − j²216 = −24 + 216 − j156 = 192 − j156 (4 + j18)/(−6 − j12) × (−6 + j12)/(−6 + j12) teller : −24 + j48 − j108 + j²216 = −240 − j60 noemer : 36 + 144 = 180 = −4/3 − j·1/3 = −1,33 − j0,33

Polair.

A₁ = 18,44 ∠ 77,47° A₂ = 13,42 ∠ 243,43° (a is negatief ⇒ + 180°) product : 18,44 · 13,42 ∠ (77,47° + 243,43°) = 247,4 ∠ 320,90° = 247,4·cos 320,90° + j·247,4·sin 320,90° = 192 − j156 ✓ quotiënt : (18,44 / 13,42) ∠ (77,47° − 243,43°) = 1,374 ∠ −165,96° = −1,33 − j0,33 ✓

Beide wegen kloppen. Vergelijk de moeite: de cartesiaanse deling vraagt een complex toegevoegde en vier producten, de polaire één deling en één aftrekking.

Inzicht

7. Dezelfde componenten als in het uitgewerkte voorbeeld — C = 20 µF, L = 85 mH en R = 500 Ω op 230 V / 50 Hz — maar nu alle drie parallel. Bereken I_R, I_L, I_C, de totale stroom, Z en φ. Is de keten inductief of capacitief, en waarom is dat omgekeerd aan het serie-geval?

Toon de uitwerking

Bij parallel staat over elke tak dezelfde spanning, dus reken je per tak de stroom uit.

I_R = 230 ∠ 0° / 500 ∠ 0° = 0,460 A ∠ 0° = 0,460 + j0 I_L = 230 ∠ 0° / 26,7 ∠ 90° = 8,61 A ∠ −90° = 0 − j8,61 I_C = 230 ∠ 0° / 159,15 ∠ −90° = 1,45 A ∠ 90° = 0 + j1,45 I = 0,460 − j8,61 + j1,45 = 0,460 − j7,16 = √(0,460² + 7,16²) ∠ tan⁻¹(−7,16 / 0,460) = 7,17 A ∠ −86,3° Z = 230 ∠ 0° / 7,17 ∠ −86,3° = 32,1 Ω ∠ 86,3°

Het argument van de stroom is nu negatief: de stroom ijlt 86,3° na op de spanning. De keten is inductief.

Waarom omgekeerd? In serie telt de grootste reactantie het zwaarst, want de reactanties tellen op — en X_C is hier zes keer groter dan X_L, dus capacitief. In parallel telt juist de kleinste reactantie het zwaarst, want die laat de grootste stroom door — en dat is X_L met 26,7 Ω. Zelfde componenten, tegengesteld karakter, puur door de schakelwijze.

8. a) Toon aan dat 1/j = −j.
b) De reactantie van een condensator is in complexe vorm 1/(jωC). Leid daaruit af dat X_C = −j·X_C.
c) Doe hetzelfde voor de spoel, waarvan de complexe reactantie jωL is.

Toon de uitwerking

a) 1/j = (1/j) · (j/j) = j/j² = j/(−1) = −j b) 1/(jωC) = (1/j) · 1/(ωC) = −j · 1/(ωC) = −j · X_C c) jωL = j · X_L want X_L = ωL

Het minteken bij de condensator komt dus niet uit een afspraak maar uit de rekenregel 1/j = −j. En dat klopt precies met wat je in les 1 vaststelde: bij een condensator ijlt de stroom 90° voor, bij een spoel 90° na.

9. Een keten heeft Z = 40 − j30 Ω en hangt aan 230 V / 50 Hz.
a) Bereken |Z|, φ, de stroom en het karakter van de keten.
b) Welke component moet je in serie bijplaatsen om de keten zuiver ohms te maken, en welke waarde heeft die bij 50 Hz?
c) Hoe groot wordt de stroom daarna?

Toon de uitwerking

a) |Z| = √(40² + 30²) = 50,0 Ω φ = tan⁻¹(−30/40) = −36,87° I = 230 ∠ 0° / 50,0 ∠ −36,87° = 4,60 A ∠ +36,87°

Het argument van de stroom is positief: de stroom ijlt voor, de keten is capacitief.

b) Het imaginaire deel moet nul worden. Er staat − j30, dus er moet + j30 bij : een spoel met X_L = 30 Ω. L = X_L / (2 · π · f) = 30 / 314,16 = 0,0955 H = 95,5 mH c) Z = 40 + j0 = 40 ∠ 0° I = 230 / 40 = 5,75 A ∠ 0°

De stroom stijgt van 4,60 A naar 5,75 A en komt in fase met de spanning. Dat is precies wat resonantie doet in een serieketen: de impedantie zakt naar R en de stroom wordt maximaal.

Vooruitblik

Je hebt nu het gereedschap waarmee je elke passieve wisselstroomketen kunt doorrekenen, hoe veel takken er ook zijn. Terugkijkend naar les 6: wat daar de cosinusregel en een halve bladzijde vectormeetkunde vroeg, is met complexe getallen een deling en een optelling. De meetkunde blijft nuttig om te begrijpen wat er gebeurt; de complexe rekenwijze gebruik je om te rekenen.