Magnetisch veld in een stroomkring en in een spoel
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Hoofdstuk
- Elektromagnetisme
- Onderdeel
- 05 van 10
Eén rechte draad levert een zwak veld dat alle kanten uitwaaiert. Buig die draad tot een kring en alle bijdragen tellen in het midden op; wikkel er honderden windingen van en je krijgt binnenin een sterk, homogeen veld. Dat is de spoel — het onderdeel waarmee je in elke motor, elk relais en elke transformator te maken krijgt.
- verklaren waarom de bijdragen in het midden van een stroomkring elkaar versterken;
- de zin van het veld bepalen met de tweede rechterhandregel;
- de veldsterkte in het midden van een kring berekenen met H = N·I/d;
- het veldlijnenpatroon van een solenoïde tekenen, in zijaanzicht en in doorsnede;
- de veldsterkte in een spoel berekenen en weten wanneer je mag vereenvoudigen tot H = N·I/ℓ;
- uitleggen wat ampèrewindingen zijn en waarom een spoel een ijzeren kern krijgt.
Startpunt
Je weet dat een stroom een magnetisch veld opwekt, dat de veldlijnen rond een rechte draad concentrische cirkels vormen, en dat je hun zin vindt met de rechterhandregel. Je kunt de symbolen ⊗ en ⊙ lezen, en je rekent vlot met H = I/(2·π·r) en B = µ0 · µr · H.
01Van rechte draad naar kring
Het veld van één rechte draad is zwak en het waaiert uit: op 5 cm van een draad met 10 A haal je nauwelijks het aardmagnetisch veld. Buig je die draad echter tot een cirkel, dan verandert er iets belangrijks. Elk stukje van de kring wekt zijn eigen cirkelvormig veld op, en in het middelpunt wijzen al die bijdragen dezelfde kant op. Daar tellen ze dus op.
Buiten de kring gebeurt het omgekeerde: daar wijzen de bijdragen van de verschillende stukjes uit elkaar en verzwakken ze elkaar. Het veld is dus geconcentreerd binnen de kring.
02De tweede rechterhandregel
Voor een rechte draad gebruikte je de duim voor de stroom en de vingers voor het veld. Bij een kring draai je dat om:
Of andersom, wat meestal handiger is: krul je vingers mee met de stroom, dan wijst je duim in de richting van het veld door de kring. Buiten de kring lopen de veldlijnen uiteraard de andere kant op — het zijn gesloten lussen.
03De veldsterkte in het midden
Zijn er N windingen boven op elkaar in plaats van één, dan levert elke winding evenveel:
Let op het verschil met de rechte draad. Daar stond er 2·π·r in de noemer, hier alleen 2·r. Dat komt doordat bij de kring álle stukjes van de geleider op dezelfde afstand van het middelpunt liggen en allemaal even hard meewerken — bij een rechte draad is dat niet zo.
04De kring lijkt op een platte magneet
Ga je ver genoeg van de kring af staan, dan valt het verschil met een staafmagneet niet meer op. De kant waar de veldlijnen uittreden gedraagt zich als een noordpool, de andere kant als een zuidpool.
Dat is geen toevallige gelijkenis. Het magnetisme van een gewone staafmagneet komt uiteindelijk óók van kringstromen: de elektronen die in de atomen rondlopen. Eén stroomkring is het eenvoudigste magneetje dat bestaat.
05De spoel of solenoïde
Zet je veel kringen achter elkaar op dezelfde as, dan krijg je een solenoïde: een lange draad, gewikkeld rond een holle cilinder. Elke winding draagt bij aan het veld, en binnenin versterken ze elkaar.
Het resultaat is opmerkelijk: binnenin een lange, dunne spoel is het veld homogeen — overal dezelfde richting en dezelfde sterkte. Buiten de spoel is het veld zwak en lijkt het op dat van een staafmagneet.
Waarom dat zo is, zie je het best in doorsnede. Boven en onder snijd je de wikkeling aan, en daar loopt de stroom in tegengestelde zin:
Pas de rechterhandregel toe op de bovenste en de onderste draden afzonderlijk, en je ziet dat de veldlijnen binnenin allebei dezelfde kant op wijzen. Ze tellen op. Boven en onder de spoel wijzen ze tegengesteld en heffen ze elkaar grotendeels op.
06De formule van de solenoïde
De exacte veldsterkte in het midden van een spoel met lengte ℓ en straal r bedraagt:
Is de spoel veel langer dan ze dik is, dan valt de term 4·r² in het niet tegenover ℓ². Dan mag je vereenvoudigen, en dat is de formule die je in de praktijk gebruikt:
Hoe erg is die vereenvoudiging? Bij een spoel van 8 cm lang en 1 cm dik geeft de exacte formule 6202 A/m en de vereenvoudigde 6250 A/m: een afwijking van 0,8 %. Bij een spoel die vijf keer langer is dan haar diameter zit je al ruim onder de 2 %. Alleen bij korte, dikke spoelen loont het om de volledige formule te gebruiken.
Ampèrewindingen
In de formule komen N en I alleen als product voor. Dat product N · I heet het aantal ampèrewindingen, en het is wat de spoel magnetisch gezien werkelijk levert.
Dat geeft je als ontwerper een keuze: veel windingen met weinig stroom, of weinig windingen met veel stroom. Voor dezelfde veldsterkte maakt het niet uit — maar voor de warmteontwikkeling, de draaddikte en de prijs wel degelijk.
07Waarom er een kern in zit
De veldsterkte H hangt alleen af van N, I en ℓ. Wat er binnenin de spoel zit, verandert daar niets aan. Maar de inductie B, en daarmee de flux, hangt wél af van de kern:
Met dezelfde spoel en dezelfde stroom krijg je duizend keer zoveel flux. Daarom zit er in elke relaisspoel, elke transformator en elke motor een kern van zacht ijzer of dynamoblik.
Voorbeeld
Een solenoïde is 8,0 cm lang en heeft een doorsnede van 1,0 cm; ze telt 500 windingen. Hoe sterk is het veld in de spoel per ampère stroom?
08Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op drie beduidende cijfers.
Basis
1. Een cirkelvormige winding met een diameter van 10 cm voert een stroom van 4 A. Bereken de veldsterkte en de inductie in het middelpunt. De middenstof is lucht.
Toon de uitwerking
2. Een spoeltje van 20 windingen met een diameter van 8 cm voert 2 A. Bereken H en B in het middelpunt.
Toon de uitwerking
3. Een solenoïde van 20 cm lang telt 400 windingen en voert 1,5 A. De spoel is veel langer dan ze dik is. Bereken H en B in de spoel, in lucht.
Toon de uitwerking
4. In dezelfde spoel als in de vorige oefening schuif je een kern met µr = 400. De stroom blijft 1,5 A. Wat worden H, B en de flux, als de doorsnede 4 cm² is?
Toon de uitwerking
De veldsterkte blijft exact gelijk — die wordt bepaald door de spoel, niet door de kern. De inductie wordt vierhonderd keer zo groot, en daarmee de flux ook.
Verdieping
5. Een MRI-spoel van 1,0 m lang wekt een magnetisch veld van 1,2 T op. De spoel is gemaakt van supergeleidend materiaal waardoor een stroom van 100 A kan vloeien. Hoeveel windingen zijn er nodig om dit veld op te wekken?
Toon de uitwerking
Bijna tienduizend windingen. Reken je de draadlengte uit bij een spoeldiameter van 60 cm, dan kom je op 9549 · π · 0,6 ≈ 18 km draad. Bij die 100 A zou gewoon koper daar honderden kilowatt aan warmte in stoppen — vandaar de supergeleider.
6. Een spoel van 800 windingen is 25 cm lang en heeft een kern met µr = 250. Welke stroom heb je nodig om in de kern een inductie van 0,5 T te krijgen?
Toon de uitwerking
Nog geen halve ampère voor een half tesla. Zonder kern zou je voor diezelfde inductie 250 keer zoveel stroom nodig hebben: ruim 124 A.
7. Een spoel van 500 windingen werkt op 5 A. Je wilt dezelfde veldsterkte bereiken met een spoel van dezelfde lengte die op 2 A werkt. Hoeveel windingen heb je dan nodig?
Toon de uitwerking
Beide spoelen leveren 2500 ampèrewindingen en dus precies hetzelfde veld. De tweede heeft wel 2,5 keer zoveel draad nodig, maar mag dunner koper gebruiken omdat er minder stroom door moet.
Inzicht
8. Een solenoïde is 6,0 cm lang en heeft een diameter van 4,0 cm; ze telt 300 windingen en
voert 2 A.
a) Bereken H met de exacte formule.
b) Bereken H met de vereenvoudigde formule.
c) Hoe groot is de afwijking, en waarom is ze hier veel groter dan in het voorbeeld?
Toon de uitwerking
Twintig procent is geen verwaarloosbare fout meer. De reden staat in de voorwaarde: de vereenvoudiging mag alleen als ℓ ≫ r. Hier is ℓ = 0,06 m en r = 0,02 m, dus de spoel is maar drie keer langer dan haar straal — allesbehalve lang en dun. In het voorbeeld was die verhouding zestien, en daar bleef de fout onder één procent.
Vuistregel: is de lengte minstens tien keer de straal, dan mag je vereenvoudigen. Anders niet.
9. Een relaisspoel heeft 1200 windingen, is 3 cm lang en heeft een kern van zacht ijzer met
µr = 1500. De doorsnede is 0,8 cm². Bij 24 V trekt de spoel 40 mA.
a) Bereken H, B en Φ.
b) Wat gebeurt er met de flux als de kern door trillingen een luchtspleetje van niets krijgt,
waardoor µr effectief terugvalt tot 300?
Toon de uitwerking
De flux valt terug tot een vijfde, terwijl de spoel exact dezelfde stroom blijft trekken. Het relais heeft dan te weinig kracht om zijn contacten aan te trekken, hoewel er aan de elektrische kant niets te meten valt. Dat is een klassieke storing bij oudere relais.
Eén kanttekening bij deel a: 3,02 T is in werkelijkheid onhaalbaar. IJzer raakt rond 1,5 à 2 T verzadigd en µr stort dan in. De berekening laat dus vooral zien dat deze spoel ruim boven de verzadiging zit — waarom dat gebeurt, zie je bij de hysteresislus.
10. Waarom wordt het veld buiten een lange spoel zo zwak, terwijl het binnenin juist sterk is? Beredeneer het met de doorsnedetekening.
Toon de uitwerking
Kijk naar de doorsnede. Boven in de wikkeling gaat de stroom het blad in, onderin komt ze eruit. Pas op elk van beide de rechterhandregel toe.
Binnenin werken alle windingen samen; buiten werken ze tegen elkaar in. Bovendien is de ruimte buiten de spoel veel groter, zodat dezelfde flux er over een veel grotere doorsnede wordt uitgesmeerd — en de fluxdichtheid B = Φ / A dus laag blijft.
Dat is precies wat je wilt: alle magnetische energie geconcentreerd waar je ze nodig hebt, en zo weinig mogelijk storing naar buiten.
Vooruitblik
Je kunt nu een magnetisch veld maken én berekenen. De volgende vraag is wat dat veld doét met een stroomvoerende geleider die erin ligt. Het antwoord is een kracht — de lorentzkracht — en dat is meteen het werkingsprincipe van elke elektromotor.