Naar de inhoud

Magnetisch veld rond een geleider

Cursus TWE — Elektromagnetisme Onderdeel 04

Magnetisch veld rond een stroomvoerende geleider

Vak
Elektriciteit
Klas
5TWE
Hoofdstuk
Elektromagnetisme
Onderdeel
04 van 10

In 1820 merkte Oersted dat een kompasnaald wegdraait zodra er stroom door een draad vlakbij loopt. Daarmee lag de diepste bron van magnetisme bloot: niet het ijzer, maar de bewegende lading. Dit onderdeel behandelt de vorm van dat veld, de rechterhandregel waarmee je de zin bepaalt, en de wet van Biot en Savart waarmee je het berekent.

Na dit onderdeel kun je
  • de proef van Oersted beschrijven en er het besluit uit trekken;
  • het veldlijnenpatroon rond een rechte geleider tekenen;
  • de zin van de veldlijnen bepalen met de rechterhandregel;
  • de symbolen voor de stroomzin lezen en gebruiken in een doorsnede;
  • de veldsterkte berekenen met de wet van Biot en Savart, H = I / (2·π·r);
  • verklaren waarom het veld hier afneemt met 1/r en niet met 1/r².

Startpunt

Je kent het verschil tussen de veldsterkte H (in A/m), de magnetische inductie B (in tesla) en de flux Φ (in weber), en je weet dat B = µ0 · µr · H. Je kunt een veldlijnenpatroon lezen en je weet dat veldlijnen gesloten lussen vormen die elkaar nooit kruisen.

01De proef van Oersted

Tot nu ging alles over magneten: stukken ijzer of staal die van zichzelf magnetisch zijn. Maar er bestaat een veel fundamentelere bron van magnetisme, en die ontdekte de Deense natuurkundige Hans Christian Oersted in 1820 — bij toeval, tijdens een les.

Leg een rechte stroomdraad boven een kompas, met de draad in de noord-zuidrichting zodat hij evenwijdig met de naald ligt. Zolang er geen stroom loopt, gebeurt er niets. Sluit je de schakelaar, dan draait de naald een kwartslag weg.

geen stroom I = 0 de naald staat langs de draad stroom door de draad I de naald staat dwars op de draad noorden De draad ligt noord–zuid. Zodra er stroom loopt draait de naald een kwartslag: een elektrische stroom wekt dus zelf een magnetisch veld op.
Fig. 01De proef van Oersted: zodra er stroom loopt, draait de kompasnaald dwars op de draad.

Keer je de stroomzin om, dan draait de naald naar de andere kant. Zet je de stroom af, dan keert ze terug naar het noorden.

Besluit : een elektrische stroom wekt rond de geleider een magnetisch veld op.

Dit is een van de belangrijkste proeven uit de hele elektrotechniek. Zonder dit verschijnsel bestaan er geen elektromotoren, geen transformatoren, geen relais en geen luidsprekers. Alles wat je in de rest van dit hoofdstuk tegenkomt, komt hieruit voort.

02De vorm van het veld

Strooi je ijzervijlsel op een karton dat loodrecht op de stroomdraad staat, dan zie je het veldlijnenpatroon verschijnen: concentrische cirkels rond de draad, met het middelpunt in de geleider zelf.

Het veld rond een rechte geleider, in drie vlakken dwars op de draad I concentrische cirkels rond de draad De veldlijnen staan loodrecht op de draad en liggen in vlakken dwars erop.
Fig. 02De veldlijnen rond een stroomvoerende geleider zijn concentrische cirkels.

Anders dan bij een staafmagneet zijn er hier geen polen. De veldlijnen zijn gesloten cirkels die de draad omsluiten, en ze staan overal loodrecht op de draad.

03De zin van de veldlijnen: de rechterhandregel

De vorm ken je nu, maar welke kant draaien de veldlijnen op? Dat bepaal je met de rechterhandregel, ook wel de kurkentrekkerregel of de regel van Maxwell genoemd.

Wijs met de duim van je rechterhand in de zin van de stroom. De richting waarin je vingers krullen, is de zin van de veldlijnen.

Er bestaat een even bruikbare formulering: kijk je in de zin van de stroom, dan draaien de veldlijnen met de klok mee. En de naam kurkentrekkerregel spreekt voor zich: draai je een kurkentrekker met de klok mee, dan gaat hij vooruit — die vooruitrichting is de stroomzin.

04Symbolen voor de stroomzin

In een doorsnede loopt de stroom loodrecht op het blad. Daar heb je twee symbolen voor. Denk aan een pijl: van achteren zie je de pluimen als een kruisje, van voren de punt als een puntje.

Hoe je de stroomzin tekent in een doorsnede van je weg, het blad in veldlijnen met de klok mee I naar je toe, uit het blad veldlijnen tegen de klok in I Rechterhandregel: duim in de zin van de stroom, de vingers krullen mee met het veld.
Fig. 03Een kruisje betekent stroom het blad in, een punt betekent stroom uit het blad.
SymboolBetekenis Zin van de veldlijnen
een kruisje ⊗stroom van je weg, het blad inmet de klok mee
een puntje ⊙stroom naar je toe, uit het bladtegen de klok in

Deze notatie gebruik je de rest van het hoofdstuk voortdurend — bij de spoel, bij de lorentzkracht en bij de motor. Zorg dat je ze vlot kunt lezen én tekenen.

05De grootte: de wet van Biot en Savart

Proeven leren twee dingen. Verdubbel je de stroom, dan verdubbelt het veld. Ga je twee keer zo ver van de draad staan, dan halveert het veld.

H ~ I evenredig met de stroom H ~ 1 / r omgekeerd evenredig met de afstand samen : H ~ I / r

De evenredigheidsfactor blijkt 1/(2π) te zijn. Zo krijg je de wet van Biot en Savart:

H = I / (2 · π · r) [A/m] H veldsterkte op afstand r van de draad ampère per meter [A/m] I stroomsterkte in de draad ampère [A] r loodrechte afstand tot de draad meter [m]

Wil je de inductie, dan ga je zoals altijd via de permeabiliteit:

B = µ · H = µ0 · µr · I / (2 · π · r) [T] met µ0 / (2 · π) = 2 · 10⁻⁷ wordt dat B = 2 · 10⁻⁷ · µr · I / r

Die tweede vorm is een rekenvriendelijke: met µ0/(2π) = 2 · 10⁻⁷ T·m/A hoef je π niet meer in te tikken. Reken er wel mee dat r in meter moet: een afstand van 2 mm is 0,002 m, niet 2.

H = I / (2 · π · r) — omgekeerd evenredig met de afstand r H r 2r 4r H H/2 H/4 Twee keer zo ver van de draad betekent een half zo sterk veld — niet vier keer zwakker.
Fig. 04De veldsterkte rond een rechte geleider neemt af met 1/r, niet met 1/r².

Let op het verschil met de wet van Coulomb. Daar nam de kracht af met het kwadraat van de afstand; hier neemt de veldsterkte af met de afstand zelf. Twee keer zo ver betekent hier een half zo sterk veld, niet een vier keer zo zwak veld. Dat komt doordat een oneindig lange draad geen puntbron is.

06Vier opmerkingen bij het verschijnsel

  • Zonder stroom geen veld. Een koperdraad zonder stroom is volstrekt niet magnetisch. Het veld verdwijnt op hetzelfde ogenblik als de stroom.
  • Bij wisselstroom wisselt ook het veld. De stroom verandert vijftig keer per seconde van zin, dus het magnetisch veld ook. Daarom is dat veld met een gewone kompasnaald niet te zien: die kan het tempo niet volgen.
  • Het materiaal van de draad doet er niet toe. Koper, aluminium, ijzer of staal — het verschijnsel werkt precies hetzelfde. Dit heeft niets met ferromagnetisme te maken, maar alles met bewegende ladingen. Wat de draad omríngt telt wel mee: dat zit in µr.
  • Het veld is zwak. Op 5 cm van een draad met 10 A haal je 40 µT, ongeveer het aardmagnetisch veld. Om een bruikbaar veld te krijgen moet je de draad opwinden tot een spoel — dat is het volgende onderdeel.

Voorbeeld

Een spanningsbron van 45 V wordt kortgesloten door een draad met een weerstand van 0,5 Ω. Hoe groot zijn de veldsterkte en de inductie op 2 mm van die draad?

gegeven : U = 45 V R = 0,5 Ω r = 2 mm = 0,002 m µr = 1 gevraagd : H en B eerst de stroom : I = U / R = 45 / 0,5 = 90 A dan de veldsterkte : H = I / (2 · π · r) = 90 / (2 · π · 0,002) = 7162 A/m en de inductie : B = µ0 · µr · H = 4 · π · 10⁻⁷ · 1 · 7162 = 9,0 · 10⁻³ T = 9,0 mT

9 mT is ruim honderdtachtig keer het aardmagnetisch veld — maar alleen vlak tegen de draad, en alleen zolang de kortsluiting duurt.

07Oefeningen

Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op drie beduidende cijfers.

Basis

1.  Door een rechte geleider in lucht loopt een stroom van 10 A. Bereken de veldsterkte en de inductie op 5 cm van de draad.

Toon de uitwerking
gegeven : I = 10 A r = 5 cm = 0,05 m µr = 1 gevraagd : H en B H = I / (2 · π · r) = 10 / (2 · π · 0,05) = 31,8 A/m B = µ0 · H = 4 · π · 10⁻⁷ · 31,8 = 4,0 · 10⁻⁵ T = 40 µT sneller : B = 2 · 10⁻⁷ · I / r = 2 · 10⁻⁷ · 10 / 0,05 = 4,0 · 10⁻⁵ T

40 µT: ongeveer even sterk als het aardmagnetisch veld. Een kompas vlak naast zo'n draad wijst dus alle kanten op behalve het noorden.

2.  Welke stroom moet er door een rechte draad lopen om op 10 cm afstand een veldsterkte van 100 A/m te krijgen?

Toon de uitwerking
gegeven : H = 100 A/m r = 10 cm = 0,10 m gevraagd : I uit H = I / (2 · π · r) volgt I = H · 2 · π · r I = 100 · 2 · π · 0,10 = 62,8 A

3.  Door een draad loopt 8 A. Bereken de veldsterkte op 1 cm en op 4 cm van de draad, en geef de verhouding tussen beide.

Toon de uitwerking
gegeven : I = 8 A r1 = 0,01 m r2 = 0,04 m gevraagd : H1, H2 en H1/H2 H1 = 8 / (2 · π · 0,01) = 127 A/m H2 = 8 / (2 · π · 0,04) = 31,8 A/m H1 / H2 = 127 / 31,8 = 4

Vier keer zo ver, vier keer zo zwak — precies de factor van de afstand, niet het kwadraat ervan. Bij de wet van Coulomb zou je hier een factor zestien gekregen hebben.

4.  Een draad met een stroom van 6 A loopt door een ijzeren buis met µr = 500. Bereken H en B op 1 cm van de draad, en vergelijk B met de waarde in lucht.

Toon de uitwerking
gegeven : I = 6 A r = 0,01 m µr = 500 gevraagd : H, B en de vergelijking met lucht H = 6 / (2 · π · 0,01) = 95,5 A/m ← onafhankelijk van het materiaal B = µ0 · µr · H = 4 · π · 10⁻⁷ · 500 · 95,5 = 0,060 T = 60 mT in lucht : B = 4 · π · 10⁻⁷ · 1 · 95,5 = 1,2 · 10⁻⁴ T = 0,12 mT

Vijfhonderd keer zoveel inductie bij precies dezelfde stroom en dezelfde veldsterkte. Opnieuw: H hangt alleen af van de bron, B hangt af van het materiaal.

Verdieping

5.  Op welke afstand van een rechte draad met 20 A is de magnetische inductie even groot als het aardmagnetisch veld van 50 µT?

Toon de uitwerking
gegeven : I = 20 A B = 50 µT = 5 · 10⁻⁵ T µr = 1 gevraagd : r uit B = 2 · 10⁻⁷ · I / r volgt r = 2 · 10⁻⁷ · I / B r = 2 · 10⁻⁷ · 20 / (5 · 10⁻⁵) = 0,08 m = 8 cm

Binnen 8 cm van zo'n draad overheerst het veld van de stroom het aardveld; daarbuiten wint het aardveld. Dat is meteen de reden waarom je een kompas niet vlak naast een voedingskabel legt.

6.  Een hoogspanningslijn voert 400 A en hangt 12 m boven de grond. Bereken de inductie ter hoogte van de grond, recht onder de lijn, en vergelijk met het aardmagnetisch veld (50 µT).

Toon de uitwerking
gegeven : I = 400 A r = 12 m gevraagd : B en de verhouding tot het aardveld B = 2 · 10⁻⁷ · I / r = 2 · 10⁻⁷ · 400 / 12 = 6,67 · 10⁻⁶ T = 6,67 µT verhouding : 6,67 / 50 = 0,13

Ongeveer 13 % van het aardmagnetisch veld, dus veel zwakker dan het veld waarin je sowieso al de hele dag rondloopt. Bij een echte lijn liggen de drie fasen bovendien dicht bij elkaar met stromen die elkaar grotendeels opheffen, dus in werkelijkheid is het nog minder.

7.  Twee lange evenwijdige draden liggen 20 cm uit elkaar en voeren elk 15 A. Bereken de veldsterkte in het midden tussen beide draden:
a) als de stromen dezelfde zin hebben;
b) als de stromen tegengestelde zin hebben.

Toon de uitwerking

In het midden ligt elk punt op 10 cm van beide draden, dus elke draad levert daar evenveel. Wat telt, is of de twee veldsterkten dezelfde kant op wijzen.

gegeven : I1 = I2 = 15 A r = 0,10 m voor beide gevraagd : H in het midden per draad : H = 15 / (2 · π · 0,10) = 23,9 A/m a) dezelfde zin Teken de veldlijnen met de rechterhandregel: tussen beide draden wijzen ze tegengesteld. H = 23,9 − 23,9 = 0 A/m b) tegengestelde zin Nu wijzen ze tussen de draden dezelfde kant op. H = 23,9 + 23,9 = 47,7 A/m

Teken altijd eerst de twee veldlijnen voor je optelt of aftrekt. Wie dat overslaat, telt op waar afgetrokken moet worden — en omgekeerd.

Inzicht

8.  Een gewone netkabel bevat een fasedraad en een nuldraad die dezelfde stroom voeren maar in tegengestelde zin. Ze liggen 3 mm uit elkaar. Door de kabel loopt 10 A.
a) Hoe groot zou de inductie op 1 m afstand zijn als er maar één draad was?
b) Schat de werkelijke inductie op 1 m, met B ≈ 2 · 10⁻⁷ · I · s / d² voor zo'n draadpaar.
c) Verklaar het verschil.

Toon de uitwerking
gegeven : I = 10 A s = 3 mm = 0,003 m d = 1 m a) één draad alleen B = 2 · 10⁻⁷ · I / d = 2 · 10⁻⁷ · 10 / 1 = 2 · 10⁻⁶ T = 2 µT b) het draadpaar B ≈ 2 · 10⁻⁷ · I · s / d² = 2 · 10⁻⁷ · 10 · 0,003 / 1² = 6 · 10⁻⁹ T = 6 nT c) verhouding : 2 µT / 6 nT ≈ 330

De twee draden voeren dezelfde stroom in tegengestelde zin, dus hun velden heffen elkaar bijna volledig op. Wat overblijft, komt alleen doordat de ene draad 3 mm dichterbij ligt dan de andere. Op grotere afstand valt het restveld af met 1/d² in plaats van met 1/d.

Dit is geen toeval maar een ontwerpkeuze: heen- en terugleiding dicht bij elkaar houden is de standaardmanier om magnetische storing te beperken. Om dezelfde reden worden signaaldraden getwist.

9.  Een rechte draad voert 5 A. Vergelijk de veldsterkte op 1 cm van die draad met de veldsterkte binnenin een spoel van 200 windingen over een lengte van 10 cm, waar dezelfde 5 A doorheen loopt (voor de spoel geldt H = N · I / ℓ).

Toon de uitwerking
rechte draad : H = I / (2 · π · r) = 5 / (2 · π · 0,01) = 79,6 A/m spoel : H = N · I / ℓ = 200 · 5 / 0,10 = 10 000 A/m verhouding : 10 000 / 79,6 = 126

Honderdtwintig keer sterker met precies dezelfde stroom en dezelfde draad. Het enige verschil is dat de draad is opgewonden, zodat elke winding haar bijdrage op dezelfde plaats levert. Dat is de reden waarom je in de praktijk nooit een rechte draad gebruikt om een veld te maken, maar altijd een spoel.

10.  Een kompas ligt eerst onder een horizontale draad, daarna erboven. De draad voert gelijkstroom.
a) Waarom wijst de naald in beide gevallen de andere kant op?
b) Wat zie je als je de draad op wisselstroom van 50 Hz aansluit?

Toon de uitwerking

a) De veldlijnen zijn gesloten cirkels rond de draad. Onder de draad loopt de cirkel de ene kant op, boven de draad — aan de overkant van diezelfde cirkel — precies de andere kant op. De naald richt zich volgens de veldlijn waarop ze ligt, dus ze draait in tegengestelde zin.

stroom naar het noorden : boven de draad : veld naar het westen onder de draad : veld naar het oosten

b) Bij wisselstroom van 50 Hz wisselt de stroomzin honderd keer per seconde, en dus ook de zin van het veld. De naald zou honderd keer per seconde van kant moeten wisselen, en dat lukt niet: ze is veel te traag. Je ziet haar hooguit lichtjes trillen, maar ze blijft gemiddeld naar het noorden wijzen.

Dat is precies wat er in de laatste opmerking van dit onderdeel staat: het magnetisch veld rond een gewone netkabel is met een kompas niet zichtbaar, hoewel het er wel degelijk is.

Vooruitblik

Het veld van één rechte draad is zwak. Maar buig je die draad tot een kring, dan tellen alle bijdragen in het midden op — en wikkel je er honderden windingen van, dan krijg je binnenin een sterk en bovendien homogeen veld. Dat is precies wat een spoel doet, en dat is het onderwerp van het volgende onderdeel.