Vermogen en arbeidsfactor
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Hoofdstuk
- Wisselstroom — één fase
- Onderdeel
- 08 van 8
Bij gelijkstroom is vermogen één vermenigvuldiging. Bij wisselstroom veranderen spanning en stroom elk ogenblik, en meestal lopen ze ook nog eens niet gelijk. Een deel van het vermogen pendelt dan heen en weer zonder ooit werk te leveren. Dit onderdeel laat zien hoeveel er overblijft, hoe je dat berekent, en waarom je netbeheerder er geld voor vraagt.
- het momentaan vermogen p = u · i aflezen en verklaren bij een faseverschil van 0°, 90° en φ°;
- het actief, reactief en schijnbaar vermogen berekenen met P = U·I·cos φ, Q = U·I·sin φ en S = U·I;
- de vermogendriehoek tekenen en er de ontbrekende grootheid uit halen;
- uitleggen wat de arbeidsfactor is en waarom een lage cos φ de gebruiker én de leverancier geld kost;
- de condensator berekenen die een gegeven cos φ₁ optrekt tot een gewenste cos φ;
- de vermogens van een installatie met verschillende takken correct samenstellen.
Startpunt
Je kunt een RL- of RC-keten doorrekenen: je vindt XL en XC, je stelt Z samen en je weet dat de stroom bij een spoel 90° naijlt op de spanning en bij een condensator 90° voorijlt. En je weet dat U en I zonder index altijd effectieve waarden zijn — de waarden die je multimeter aanwijst.
01Wat er verandert tegenover gelijkstroom
Bij gelijkstroom staat het vermogen vast: de spanning is constant, de stroom is constant, en dus is ook het product constant. Eén vermenigvuldiging en je bent klaar.
Bij wisselstroom ligt dat anders. Spanning en stroom veranderen elk ogenblik, dus verandert ook hun product elk ogenblik. Dat product noemen we het momentaan vermogen.
Kleine letters, want het gaat om waarden op één bepaald ogenblik. Wat een toestel werkelijk opneemt, is het gemiddelde van p over een volledige periode. Dat gemiddelde noemen we het actief vermogen P.
Elke meter die je in de praktijk tegenkomt — een wattmeter, de kWh-teller in de meterkast, het kenplaatje op een motor — geeft dat gemiddelde. Het momentaan vermogen zie je alleen op een scoop. We gebruiken p enkel om te begrijpen waar P vandaan komt.
Of dat gemiddelde groot of klein is, hangt af van één ding: het faseverschil tussen u en i. We bekijken drie gevallen, van eenvoudig naar algemeen.
02Spanning en stroom in fase
Dit is het geval van een zuivere weerstand: een verwarmingselement, een gloeilamp, een kookplaat. Spanning en stroom gaan tegelijk door nul en bereiken tegelijk hun top.
Beide sinussen hebben altijd hetzelfde teken. Twee positieve getallen geven een positief product, twee negatieve ook — dus p is nooit negatief. Er stroomt onafgebroken energie van de bron naar de weerstand, nooit omgekeerd.
Reken je het uit met û en î voor de topwaarden:
En omdat û = U · √2 en î = I · √2 is ½ · û · î = ½ · 2 · U · I = U · I.
De formule ziet er dus uit als die van gelijkstroom, op voorwaarde dat je met effectieve waarden werkt. Dat is precies waarvoor de effectieve waarde bedacht is.
03Spanning en stroom 90° verschoven
Nu het andere uiterste: een zuivere spoel (de stroom ijlt 90° na op de spanning) of een zuivere condensator (de stroom ijlt 90° voor op de spanning).
Opnieuw een sinus, met de dubbele frequentie — maar ditmaal netjes rond de nullijn.
Elke kwartperiode wisselt het teken. Een kwartperiode lang neemt de spoel energie op in haar magnetisch veld; de volgende kwartperiode geeft ze die volledig terug aan de bron. De positieve en de negatieve oppervlakte zijn even groot.
En toch loopt er stroom. Een spoel met XL = 15 Ω op 230 V trekt 15,3 A. Die stroom loopt door je leidingen, verwarmt ze en belast je zekering — alleen zet hij in de spoel zelf niets om. Dat is precies het probleem waar de rest van dit onderdeel over gaat.
04Spanning en stroom φ° verschoven
In de praktijk is niets zuiver ohms en niets zuiver inductief. Een motor, een transformator, een TL-armatuur: allemaal weerstand én spoel. Het faseverschil ligt dan ergens tussen 0° en 90°.
De positieve oppervlakte is groter dan de negatieve, dus er blijft netto vermogen over — maar minder dan U · I. Hoeveel precies? Daarvoor gebruiken we een trucje dat je nog vaak zult tegenkomen: ontbind de stroom in twee delen.
De stroomvector wordt de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met:
Voor de actieve component geldt geval 2: ze staat in fase met U en levert dus vermogen U · Ia. Voor de reactieve component geldt geval 3: ze staat 90° op U en levert dus niets. Alleen Ia telt mee.
Dit is de algemene formule voor het actief vermogen bij wisselstroom. De twee vorige gevallen zitten er gewoon in verstopt:
| Geval | φ | cos φ | P |
|---|---|---|---|
| zuivere weerstand | 0° | 1 | U · I |
| zuivere spoel of condensator | 90° | 0 | 0 W |
| gemengd (R met L of C) | tussen 0° en 90° | tussen 0 en 1 | U · I · cos φ |
05De vermogendriehoek
Alle drie de stromen uit de vorige paragraaf staan op dezelfde spanning U. Vermenigvuldig je dus elke zijde van de stroomdriehoek met datzelfde getal U, dan blijft de vorm van de driehoek gelijk — alleen de betekenis van de zijden verandert.
De drie hangen samen zoals de zijden van elke rechthoekige driehoek:
Wat elk van de drie betekent:
| Grootheid | Eenheid | Wat het doet |
|---|---|---|
| P actief | W | Doet echt werk: warmte, licht, beweging. Dit is wat de kWh-teller registreert en waar je voor betaalt. |
| Q reactief | VAr | Pendelt heen en weer tussen bron en magnetisch of elektrisch veld. Levert geen werk, maar kost wel stroom in de leiding. |
| S schijnbaar | VA | Het product van de gemeten U en I. Hierop dimensioneer je kabels, zekeringen, schakelaars en transformatoren. |
Waarom drie eenheden voor hetzelfde? W, VAr en VA zijn alle drie J/s. Ze krijgen een aparte naam om te verhinderen dat je ze zomaar optelt. Want dat mag niet: 3 kW en 4 kVAr geven geen 7 kVA maar 5 kVA, want de optelling gebeurt meetkundig. Alleen P onderling en Q onderling mag je gewoon optellen.
Voorbeeld
Een spoel van 0,05 H staat in serie met een weerstand van 10 Ω op 230 V / 50 Hz. Gevraagd: P, Q en S.
06De arbeidsfactor
De verhouding tussen wat je nuttig gebruikt en wat je installatie moet kunnen doorlaten, krijgt een eigen naam.
De arbeidsfactor zegt dus welk deel van het schijnbaar vermogen echt werk doet. Bij cos φ = 1 gaat alles naar nuttig werk; bij cos φ = 0,5 is dat nog maar de helft.
Alleen bij zuivere sinussen. De gelijkheid arbeidsfactor = cos φ geldt enkel zolang u en i zuiver sinusvormig zijn. Achter een dimmer met fase-aansnijding, een frequentieregelaar of een schakelende voeding is de stroom vervormd; dan spreekt men van de power factor PF, die naast de verschuiving ook de vervorming meetelt. In dit onderdeel rekenen we altijd met zuivere sinussen.
| Verbruiker | cos φ (orde van grootte) |
|---|---|
| Verwarmingselement, gloeilamp, kookplaat | 1 |
| TL-armatuur met conventioneel voorschakelapparaat, niet gecompenseerd | 0,5 |
| Inductiemotor op vollast | 0,8 tot 0,9 |
| Inductiemotor onbelast | 0,2 tot 0,3 |
| Transformator onbelast | klein — vooral magnetiseringsstroom |
Let op de voorlaatste rij: een motor die draait zonder iets aan te drijven, heeft een erg slechte arbeidsfactor. Een machine die de halve dag stationair staat te draaien, is dus niet alleen verspilling van energie maar ook van installatievermogen.
07Waarom een lage arbeidsfactor duur is
Gevolg 1 — de stroom loopt op
Stel dat je een toestel van 5 kW moet voeden op 230 V. Het actief vermogen ligt vast, de spanning ligt vast — dus bepaalt cos φ alleen nog de stroom:
| cos φ | Stroom bij 5 kW / 230 V | Tegenover cos φ = 1 |
|---|---|---|
| 1 | 21,74 A | — |
| 0,8 | 27,17 A | 25 % meer |
| 0,3 | 72,46 A | ruim drie keer zoveel |
Alle drie leveren ze precies 5 kW nuttig vermogen. Maar bij cos φ = 0,3 heb je wel drie keer zo dikke leidingen nodig, een zwaardere zekering en een zwaardere schakelaar. En omdat het verlies in een kabel gaat met I², wordt de kabel bij die derde stroom ruim elf keer zo warm als bij de eerste.
Gevolg 2 — de leverancier verkoopt minder
Een generator is gebouwd voor een bepaalde spanning en een bepaalde stroom, dus voor een bepaald schijnbaar vermogen. Neem een generator van 1000 kVA bij 10 000 V, die een dag lang volledig belast draait. De leverancier kan alleen het actief vermogen factureren. Met een tarief van € 0,2225 per kWh:
| cos φ | P = S · cos φ | W over 24 h | Opbrengst |
|---|---|---|---|
| 1 | 1000 kW | 24 000 kWh | € 5 340 |
| 0,8 | 800 kW | 19 200 kWh | € 4 272 |
| 0,3 | 300 kW | 7 200 kWh | € 1 602 |
Dezelfde machine, dezelfde slijtage, dezelfde stroom door dezelfde kabels — maar een derde van de opbrengst. Daarom wil de netbeheerder dat je cos φ zo dicht mogelijk bij 1 ligt, en rekent hij een toeslag zodra ze onder een afgesproken drempel zakt.
In deze cursus rekenen we met de drempel cos φ = 0,8. De werkelijke drempel, de meetperiode en het tarief verschillen per netbeheerder en per contract, en veranderen regelmatig — kijk ze na op een echte factuur voordat je er een installatie op berekent.
08De arbeidsfactor verbeteren
Een inductieve verbruiker vraagt reactief vermogen. Een condensator levert reactief vermogen: haar stroom ijlt 90° voor op de spanning, precies tegengesteld aan die van een spoel. Zet je beide naast elkaar, dan wisselen ze die energie rechtstreeks met elkaar uit in plaats van telkens over het net heen en weer te sturen.
Parallel, nooit in serie. De condensator komt over de verbruiker te staan, niet ervoor. Zo blijft de spanning over de verbruiker onveranderd en werkt hij precies zoals vroeger. Alleen de stroom in de toevoerleiding daalt — en dat is net wat je wilt.
In het vectordiagram zie je wat er gebeurt. De condensatorstroom I2 staat recht omhoog, de verbruikersstroom I1 ijlt φ1 na, en de stroom die het net nog moet leveren is hun vectoriële som:
Twee dingen vallen op. De resultante is korter geworden: het net levert minder stroom. En ze ligt dichter bij U: de hoek φ is kleiner, dus cos φ is groter. Wat níet verandert, is de horizontale component — en daarmee ook het actief vermogen niet:
Niet te ver doorschieten. Neem je de condensator te groot, dan gaat de totale stroom vóórijlen en wordt cos φ opnieuw slechter — nu langs de andere kant. Bij installaties waarvan de belasting sterk wisselt, gebruikt men daarom een condensatorbatterij met een cos φ-regelaar die trappen bij- en afschakelt.
09De condensator berekenen
Stap 1 — volledig compenseren, naar cos φ = 1
Als je tot φ = 0° wilt gaan, moet de condensatorstroom de volledige blindcomponent van de verbruiker opheffen:
Stap 2 — gedeeltelijk compenseren, naar een gewenste cos φ
Volledig compenseren is zelden nodig en ook niet gratis. Meestal volstaat het om net boven de drempel te komen. Dan moet de condensator alleen het verschil tussen de twee blindcomponenten leveren:
De formule van stap 1 is gewoon dit met φ = 0°, want tg 0° = 0. Onthoud er dus maar één.
Drie valkuilen. φ1 en φ zijn hoeken, geen cos-waarden: reken eerst cos φ om naar φ en zet je rekenmachine op DEG. U staat in het kwadraat, dus een fout in U telt dubbel. En het resultaat komt in farad — bij netcompensatie altijd een getal in de orde van microfarad, dus vermenigvuldig met 106 voor je het antwoord opschrijft.
10Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op drie beduidende cijfers.
Basis
1. Een verwarmingselement van 25 Ω staat op 230 V / 50 Hz. Bereken I, P, Q en S, en geef de arbeidsfactor.
Toon de uitwerking
Bij een zuivere weerstand vallen P en S samen en is Q nul: de vermogendriehoek is platgedrukt tot één lijn.
2. Een condensator van 200 µF staat op 100 V / 50 Hz. Bereken XC, I, P, Q en S.
Toon de uitwerking
De condensator neemt 6,28 A op en zet er geen watt van om. Al dat vermogen pendelt heen en weer — precies het reactief vermogen dat je bij een spoel kunt gebruiken om te compenseren.
3. Een motor neemt 2,3 kW op bij 230 V met een arbeidsfactor van 0,75. Bereken I, S en Q.
Toon de uitwerking
4. Op het kenplaatje van een transformator staat 5 kVA. Hij wordt belast met een verbruiker met cos φ = 0,8. Hoeveel watt kan hij dan leveren, en hoeveel VAr moet hij daarnaast doorlaten?
Toon de uitwerking
Let op wat hier gebeurt: het kenplaatje zegt 5 kVA, maar de klant krijgt maar 4 kW nuttig vermogen. De overige 3 kVAr houdt de transformator wél bezig zonder dat er iets nuttigs mee gebeurt. Bij cos φ = 1 had diezelfde transformator 5 kW kunnen leveren.
Verdieping
5. Een spoel van 0,08 H staat in serie met een weerstand van 15 Ω op 230 V / 50 Hz. Bereken I, cos φ, P, Q en S, en controleer je antwoord met de vermogendriehoek.
Toon de uitwerking
Merk op dat P ook rechtstreeks uit de weerstand volgt en Q uit de reactantie. Dat is geen toeval: alleen R zet vermogen om, alleen XL laat vermogen pendelen. Het is een snelle manier om je antwoord te controleren.
6. Een bedrijf leest na één maand op de tellers af: 1230 kWh actieve energie en 1000 kvarh reactieve energie. Bereken de gemiddelde arbeidsfactor over die maand.
Toon de uitwerking
De vermogendriehoek geldt op elk ogenblik. Vermenigvuldig je elke zijde met dezelfde tijd t, dan krijg je een gelijkvormige driehoek met energieën in plaats van vermogens — de arbeidsdriehoek. De hoek φ blijft dezelfde, dus cos φ ook.
0,776 ligt onder 0,8: dit bedrijf krijgt een toeslag en heeft er belang bij te compenseren. Netbeheerders rekenen precies op deze manier — ze lezen de twee tellerstanden af en delen ze, zodat een korte piek met een slechte cos φ niet meteen meetelt maar een structureel probleem wel.
7. Een TL-armatuur neemt 65 W op en trekt 0,591 A bij 220 V / 50 Hz.
a) Bereken de arbeidsfactor van het armatuur.
b) Welke condensator brengt cos φ op 1?
c) Welke condensator volstaat om cos φ op 0,8 te brengen?
Toon de uitwerking
Bijna de helft minder capaciteit voor bijna hetzelfde resultaat. Daarom compenseert men in de praktijk tot net boven de drempel en niet tot 1: de laatste stukjes cos φ zijn het duurst. Een gecompenseerd TL-armatuur heeft die condensator trouwens al ingebouwd — kijk maar eens in de armatuur van een oudere werkplaats.
Inzicht
8. Een verbruiker van 3 kW werkt met cos φ1 = 0,3 op 220 V / 50 Hz. Bereken de condensator die nodig is om de arbeidsfactor op 0,8 te brengen, en bereken hoeveel de stroom uit het net daardoor daalt.
Toon de uitwerking
De netstroom valt terug van 45,5 A naar 17,0 A, een daling van ruim 62 %, terwijl de verbruiker exact dezelfde 3 kW blijft opnemen. Het verlies in de toevoerkabel gaat met I² en daalt dus tot ongeveer een zevende. Merk wel op dat 479 µF een forse condensator is: dat is de prijs van een slechte startsituatie.
9. Een inductiemotor op 380 V / 50 Hz levert 12 kW mechanisch vermogen bij een rendement van 63 %. Hij trekt daarbij 80 A. Bereken de condensator die de arbeidsfactor op 0,8 brengt, het reactief vermogen van die condensator, en de nieuwe netstroom.
Toon de uitwerking
Let op de volgorde: eerst via het rendement naar het elektrisch vermogen, want alleen dat komt in de formules voor. Het mechanisch vermogen van 12 kW mag je nergens invullen. De netstroom daalt van 80 A naar 62,7 A; de motor zelf blijft ongewijzigd 80 A trekken — die stroom loopt nu alleen nog tussen motor en condensator heen en weer.
10. Een bedrijf neemt 500 A op bij 380 V / 50 Hz met cos φ1 = 0,5. Het wil zijn vermogen met 10 % uitbreiden, maar de toevoerkabel mag niet zwaarder worden: de netstroom moet op 500 A blijven. Bereken de condensator die dat mogelijk maakt.
Toon de uitwerking
Met één condensator van 492 µF kan de bestaande kabel 10 % meer vermogen doorlaten. Dat is vaak veel goedkoper dan een nieuwe voeding trekken — en het is de reden waarom compensatie in industriële installaties standaard is.
11. Een werkplaatsinstallatie hangt op 500 V / 50 Hz. Vijf takken staan parallel:
Z1: S = 16 kVA, cos φ = 0,8 inductief ·
Z2: P = 7 kW, cos φ = 0,6 inductief ·
Z3: P = 5 kW, cos φ = 1 ·
Z4: S = 25 kVA, cos φ = 0,7 inductief ·
Z5: Q = 10 kVAr, cos φ = 0 capacitief.
Bereken de totale stroom en fasehoek, de totale P, Q en S, en de arbeidsfactor van de installatie.
Toon de uitwerking
De vijf takken staan op dezelfde spanning, maar hun stromen hebben verschillende fasehoeken. Optellen mag dus alleen vectorieel — en dat doen we het snelst met de complexe rekenwijze uit het vorige onderdeel, met als referentie op de reële as. Een inductieve tak krijgt een negatieve hoek (de stroom ijlt na), een capacitieve een positieve.
De controle die alles duidelijk maakt. Tel de deelvermogens op:
P en Q mag je gewoon optellen, S niet. De vijfde tak is capacitief en trekt Q omlaag — dat is dus al een stukje compensatie. Zonder die tak zou cos φ maar 0,75 bedragen in plaats van 0,845.
Vooruitblik
Alles in dit onderdeel geldt voor één fase. In een driefasige installatie — en dat is elke werkplaats, elke industriële motor — komen er factoren √3 bij en moet je opletten of je met fase- of lijngrootheden werkt. De vermogendriehoek en de arbeidsfactor blijven er onveranderd gelden; alleen de formules voor P, Q en S krijgen er een √3 bij. Dat is het onderwerp van het hoofdstuk Wisselstroom — drie fasen.