Netwerkanalyse en de brug van Wheatstone
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Hoofdstuk
- Gelijkstroomkringen
- Onderdeel
- 10 van 10
Een meting waarbij je niets meet. Dat klinkt tegenstrijdig, maar het is precies waarom de brug van Wheatstone al bijna twee eeuwen de nauwkeurigste manier is om een weerstand te bepalen — en waarom elke weegschaal en elke rekstrookopnemer erop berust.
- de brug van Wheatstone herkennen en de evenwichtsvoorwaarde toepassen;
- uitleggen waarom een nulmeting nauwkeuriger is dan een gewone meting;
- een netwerk vervangen door het schema van Thévenin;
- de spanning en de weerstand van dat vervangschema bepalen;
- kiezen tussen herleiden, Kirchhoff en Thévenin naargelang het probleem.
Startpunt
Een balansweegschaal met twee schalen. Je legt links een onbekend gewicht en rechts bekende gewichtjes, tot de balk precies horizontaal staat. Op dat moment lees je geen schaalverdeling af — je stelt alleen vast dat er evenwicht is.
Juist daarom is die weegschaal zo nauwkeurig: je hoeft geen veer te ijken en geen wijzer af te lezen. Je moet alleen kunnen zien of iets in balans is. De brug van Wheatstone doet exact hetzelfde met weerstanden.
01De brug van Wheatstone
Vier weerstanden in een ruit, een bron over de ene diagonaal en een gevoelige meter over de andere. Meer is het niet.
Merk op dat je hier niets kunt herleiden. R₁ en R₂ staan niet in serie, want tussen hen zit een knooppunt met de brugtak. En ze staan ook niet parallel, want ze hangen niet tussen dezelfde twee punten.
02Evenwicht
Stel R₃ zo in dat de galvanometer precies nul aanwijst. Dan loopt er geen stroom door de brugtak, en dat betekent dat beide uiteinden ervan op dezelfde spanning staan.
Waarom dit klopt
Geen stroom door de brug betekent dat de linkertak en de rechtertak allebei een onverstoorde spanningsdeler zijn. De spanning halverwege links moet dan gelijk zijn aan die halverwege rechts:
Werk dat uit en de bronspanning valt weg. Wat overblijft is de evenwichtsvoorwaarde hierboven.
Dit is waarom de brug zo nauwkeurig is. De bronspanning valt uit de formule weg. Een batterij die leegloopt, een netspanning die schommelt — het verandert niets aan het resultaat.
Bovendien hoef je de meter niet te ijken. Je moet er maar één ding mee kunnen: zien of hij op nul staat. Een gevoelige nulaanwijzer is veel eenvoudiger te maken dan een nauwkeurige schaalverdeling over het hele bereik.
03Waar je de brug tegenkomt
| Toepassing | Wat er verandert | Wat je meet |
|---|---|---|
| Weegschaal, krachtopnemer | rekstrookje vervormt | gewicht of kracht |
| Temperatuurmeting met Pt100 | weerstand stijgt met de temperatuur | temperatuur |
| Druksensor | membraan buigt door | druk |
| Vochtsensor | weerstand daalt bij vocht | vochtigheid |
In die moderne toepassingen laat men de brug meestal niet in evenwicht. Men meet juist de kleine brugspanning die ontstaat als de sensorweerstand verandert — die is bij kleine afwijkingen vrijwel recht evenredig met de gemeten grootheid.
04Het vervangschema van Thévenin
Soms wil je weten hoe een netwerk zich gedraagt tegenover één bepaalde component, zonder telkens het hele netwerk door te rekenen. Daarvoor bestaat een verrassend krachtige stelling.
Hoe je ze bepaalt
Stap 1 — de spanning. Haal de component tussen A en B weg en bereken de spanning die er dan tussen A en B staat. Dat is U_th, de nullastspanning.
Stap 2 — de weerstand. Vervang elke spanningsbron in het netwerk door een kortsluiting en bereken de weerstand die je dan tussen A en B ziet. Dat is R_th.
Stap 3 — de stroom. Hang de component er weer aan en reken met het vervangschema:
Wanneer dit loont. Wil je weten wat er gebeurt bij vijf verschillende belastingen, dan reken je het netwerk met Thévenin één keer door en daarna vijf keer een eenvoudige deling. Met herleiden zou je vijf keer het hele netwerk opnieuw moeten doen.
Voor één enkele berekening is Thévenin meestal niet sneller — dan is herleiden korter.
05Welke methode kies je?
| Situatie | Methode | Waarom |
|---|---|---|
| Serie- en parallelgroepen zichtbaar | herleiden | snelst, minste kans op fouten |
| Meerdere bronnen, of een brug | Kirchhoff | werkt altijd, ook zonder groepen |
| Eén component die verandert | Thévenin | één keer rekenen, daarna alleen nog invullen |
| Nauwkeurig een weerstand bepalen | Wheatstone | nulmeting, bronspanning valt weg |
06Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op drie beduidende cijfers.
Basis
1. In een brug van Wheatstone is R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω en R₃ = 150 Ω. De brug is in evenwicht. Bereken Rx.
Toon de uitwerking
2. Waarom speelt de bronspanning geen rol bij een brug in evenwicht?
Toon de uitwerking
Omdat ze in de afleiding wegvalt. Beide takken zijn spanningsdelers die aan dezelfde bron hangen:
Wat overblijft is een verhouding tussen weerstanden. Een leeglopende batterij verandert dus niets aan het gemeten resultaat — alleen de gevoeligheid van de meter wordt wat minder.
3. Een Pt100-sensor heeft bij 0 °C een weerstand van 100 Ω. In een brug met R₁ = R₂ = 1000 Ω is evenwicht bij R₃ = 138,5 Ω. Bereken de sensorweerstand.
Toon de uitwerking
Een Pt100 van 138,5 Ω komt overeen met ongeveer 100 °C. Bij gelijke zijweerstanden lees je de sensorwaarde dus rechtstreeks af op de instelbare weerstand.
Verdieping
4. Een brug heeft R₁ = 470 Ω, R₃ = 330 Ω en een onbekende Rx. Evenwicht treedt op bij R₂ = 680 Ω. Bereken Rx en controleer je antwoord met de verhoudingsvorm.
Toon de uitwerking
5. Bepaal het vervangschema van Thévenin van een bron van 12 V met R₁ = 4,0 Ω in serie, waar R₂ = 6,0 Ω parallel staat over de klemmen A-B. Bereken daarna de stroom door een belasting van 2,0 Ω.
Toon de uitwerking
Stap 1 — U_th. Haal de belasting weg. Dan staat R₂ onbelast en vormen R₁ en R₂ een spanningsdeler:
Stap 2 — R_th. Vervang de bron door een kortsluiting. Dan staan R₁ en R₂ parallel:
Stap 3 — de stroom.
6. Bereken voor datzelfde netwerk de stroom bij een belasting van 1,0 Ω, 5,0 Ω en 10 Ω. Waarom is Thévenin hier duidelijk sneller dan herleiden?
Toon de uitwerking
Waarom sneller. Met Thévenin heb je het netwerk één keer doorgerekend. Elke nieuwe belasting kost daarna maar één deling.
Zonder Thévenin zou je voor elke waarde opnieuw de parallelschakeling van R₂ met de belasting moeten uitrekenen, dan de serieschakeling met R₁, dan de totale stroom, en dan terugrekenen naar de belastingstak. Vier stappen in plaats van één, drie keer na elkaar.
Inzicht
7. Een technicus meet een weerstand van ongeveer 100 Ω, één keer met een gewone ohmmeter en één keer met een brug van Wheatstone. De brugmeting is veel nauwkeuriger. Verklaar dat met minstens drie argumenten.
Toon de uitwerking
1. De bronspanning valt weg. Bij een ohmmeter stuurt de meter zelf een stroom door de weerstand en leidt uit de gemeten spanning de waarde af. Zakt de interne batterij weg, dan verschuift het resultaat. Bij een brug valt de bronspanning uit de formule — ze speelt geen enkele rol.
2. Je vergelijkt met bekende weerstanden in plaats van met een schaal. Het resultaat van een brug hangt af van R₁, R₂ en R₃. Precisieweerstanden met een afwijking van 0,01 % zijn gewoon te koop. Een meetschaal met die nauwkeurigheid over het hele bereik is veel lastiger te maken.
3. Een nulaanwijzer is gevoeliger dan een schaal. Je moet niet aflezen hoeveel de meter aanwijst, alleen of hij nul staat. Een galvanometer kan afwijkingen van microampères zichtbaar maken — dat merk je op een gewone schaalverdeling niet.
4. De draadweerstand telt niet mee. Bij een ohmmeter zitten de meetsnoeren in serie met wat je meet; bij lage waarden vervalst dat het resultaat. Bij een brug in evenwicht loopt er geen stroom door de brugtak, dus de weerstand van dat snoer doet er niet toe.
De prijs die je betaalt: een brug is trager in gebruik en je moet hem afregelen. Voor een snelle controle pak je nog altijd de ohmmeter.
8. Leg uit waarom je een brug van Wheatstone niet kunt oplossen met alleen herleiden, en wat er precies verandert zodra de brug in evenwicht is.
Toon de uitwerking
Waarom herleiden vastloopt. Herleiden vraagt dat je twee componenten kunt aanwijzen die in serie of parallel staan. In een brug lukt dat voor geen enkel paar:
- R₁ en R₃ staan niet in serie, want tussen hen zit het knooppunt met de brugtak — daar kan stroom weglopen.
- R₁ en R₂ staan niet parallel, want ze hangen niet tussen dezelfde twee punten.
Elke weerstand grenst aan een knooppunt waar de stroom kan splitsen. Er valt dus niets te vouwen, en je hebt Kirchhoff nodig.
Wat er verandert bij evenwicht. Nu loopt er géén stroom door de brugtak. Voor de rest van de schakeling is die tak er dan net zo goed niet. En zonder die tak valt de brug wél uiteen in twee gewone spanningsdelers, die je gewoon kunt herleiden:
De diepere les. Evenwicht is niet zomaar een handige meetsituatie — het is de toestand waarin het netwerk vereenvoudigt van een echt netwerk tot twee losse takken. Daarom is dat ene punt zoveel makkelijker te berekenen dan alle andere.
Vooruitblik
Hiermee heb je het gereedschap voor elke gelijkstroomkring in handen: herleiden voor het gewone werk, Kirchhoff als dat vastloopt, en Thévenin wanneer er één component verandert. In het volgende hoofdstuk staat de lading stil en kijk je naar wat ze op afstand doet — dat is de elektrostatica.