De wetten van Kirchhoff
- Vak
- Elektriciteit
- Klas
- 5TWE
- Hoofdstuk
- Gelijkstroomkringen
- Onderdeel
- 09 van 10
Twee zinnen, allebei zo vanzelfsprekend dat je je afvraagt waarom er een naam op staat. En toch: zodra een netwerk niet meer in serie- en parallelgroepen uiteenvalt, zijn dit de enige twee gereedschappen die je nog overhoudt.
- de stroomwet formuleren en toepassen op een knooppunt;
- de spanningswet formuleren en toepassen op een gesloten kring;
- de juiste tekens gebruiken bij het doorlopen van een maas;
- beide wetten combineren om een onbekende stroom of spanning te vinden;
- uitleggen waarom deze wetten uit behoud van lading en energie volgen.
Startpunt
Sta bij een kruispunt van waterleidingen. Er komen twee buizen binnen en er gaan twee buizen uit. Al het water dat binnenkomt moet er weer uit — het kan zich niet opstapelen in het kruispunt zelf. Dat is de stroomwet.
Maak nu een wandeling rond een gebouw en kom terug bij je vertrekpunt. Alle hoogteverschillen die je onderweg omhoog en omlaag hebt afgelegd, heffen elkaar op: je staat weer even hoog als bij het begin. Dat is de spanningswet.
01De stroomwet
Dit is niets anders dan behoud van lading. Er kan in een knooppunt geen lading verdwijnen en er kan er ook geen bijkomen — wat binnenkomt, moet eruit.
Met tekens werken
In plaats van in en uit te scheiden kun je ook alles bij elkaar optellen, met een teken. Spreek af: toekomende stromen positief, afgaande negatief.
Beide methodes geven hetzelfde. Bij eenvoudige knooppunten is in-en-uit overzichtelijker; bij grotere netwerken werkt de tekenmethode vlotter, omdat je niet vooraf hoeft te weten welke kant een stroom op gaat.
Als je de zin verkeerd gokt. Dat geeft niets. Teken de pijl zoals je denkt, reken door, en komt er een negatief getal uit, dan loopt de stroom gewoon de andere kant op. De grootte klopt dan wél. Je hoeft je tekening dus niet opnieuw te maken.
02De spanningswet
Dit is behoud van energie. Doorloop je een gesloten kring en kom je terug op je vertrekpunt, dan moet de energie die elke lading onderweg opneemt precies gelijk zijn aan wat ze weer afstaat.
De tekenafspraak
Stap 1. Kies een doorloopzin voor de kring, met of tegen de wijzers van de klok. Welke maakt niet uit, zolang je ze aanhoudt.
Stap 2. Ga je door een bron van − naar +, dan telt die spanning positief. Van + naar − telt ze negatief.
Stap 3. Ga je door een weerstand in dezelfde zin als de stroom, dan telt die spanningsval negatief. Tegen de stroom in telt ze positief.
Stap 4. Tel alles op en stel gelijk aan nul.
Die tekens zijn waar de meeste fouten vandaan komen. Noteer daarom altijd eerst je doorloopzin met een pijl op de tekening, vóór je begint. Het kost drie seconden en het scheelt je de helft van je fouten.
03Wanneer je ze nodig hebt
Voor een schakeling die netjes in serie- en parallelgroepen uiteenvalt, heb je Kirchhoff niet nodig — herleiden is sneller. De wetten komen pas echt van pas in twee gevallen.
| Situatie | Waarom herleiden niet volstaat |
|---|---|
| Meer dan één bron in het netwerk | je kunt niet zomaar zeggen welke bron welke stroom levert |
| Bruggen en roosters | er zijn geen twee componenten die duidelijk serie of parallel staan |
De brug van Wheatstone uit het volgende onderdeel is precies zo'n geval. Probeer maar eens aan te wijzen welke twee weerstanden daar parallel staan — dat lukt niet.
04Beide wetten samen
In een netwerk met meerdere onbekenden gebruik je ze in combinatie. Elke onbekende stroom vraagt één vergelijking.
Waarom "op één na"? De laatste knooppuntvergelijking volgt automatisch uit de andere en levert dus geen nieuwe informatie op. Neem je hem toch mee, dan krijg je een vergelijking die je al had.
05Oefeningen
Stramien: gegeven — gevraagd — formule — invullen mét eenheden — antwoord op drie beduidende cijfers.
Basis
1. In een knooppunt komen stromen van 8,0 A en 5,0 A toe. Er gaat een stroom van 4,0 A weg. Bereken de vierde stroom en geef zijn zin.
Toon de uitwerking
2. In een gesloten kring met een bron van 24 V staan drie weerstanden. Over de eerste staat 10 V, over de derde 6,0 V. Bereken de spanning over de tweede.
Toon de uitwerking
3. Op een knooppunt komen drie stromen toe: 2,0 A, 3,5 A en 1,5 A. Er gaan er twee weg, waarvan één van 4,0 A. Bereken de andere.
Toon de uitwerking
Verdieping
4. Twee weerstanden van 6,0 Ω en 12 Ω staan parallel op 24 V. Controleer de stroomwet in het knooppunt.
Toon de uitwerking
De stroomwet en het herleiden geven hetzelfde antwoord — dat moet ook, want de stroomwet zit impliciet in de parallelformule.
5. In een kring staan twee bronnen tegen elkaar in: een van 12 V en een van 4,0 V, met daartussen een weerstand van 2,0 Ω. Bereken de stroom.
Toon de uitwerking
Met de spanningswet uitgeschreven, doorlopend in de zin van de stroom:
Dit is wat er gebeurt als je een lege accu oplaadt met een lader: de laadspanning moet de accuspanning overwinnen, en het verschil bepaalt de laadstroom.
6. Schrijf voor een kring met twee massa's de stroomwet en de spanningswetten op. De kring heeft één bron van 10 V, R₁ = 2,0 Ω in de hoofdtak, en R₂ = 4,0 Ω en R₃ = 4,0 Ω in twee parallelle takken. Los op.
Toon de uitwerking
Uit (2) en (3) volgt meteen I₂ = I₃, want beide takken hebben dezelfde weerstand. Met (1) geeft dat I₂ = I₃ = I/2. Invullen in (2):
Controle met herleiden: R₂₃ = 2,0 Ω, R = 4,0 Ω, I = 10/4,0 = 2,5 A ✓
Inzicht
7. Waarom volstaat het om de stroomwet op te schrijven voor alle knooppunten op één na? Toon dat aan met een netwerk met drie knooppunten.
Toon de uitwerking
De kern. Elke stroom die uit een knooppunt vertrekt, komt in een ander knooppunt aan. Tel je alle knooppuntvergelijkingen bij elkaar op, dan komt elke stroom precies één keer positief en één keer negatief voor — en valt alles tegen elkaar weg.
Met drie knooppunten A, B en C. Noem de stromen tussen de knooppunten I_AB, I_BC en I_CA.
De derde vergelijking is dus de som van de eerste twee, met een minteken. Ze bevat geen nieuwe informatie.
Praktisch gevolg. Bij n knooppunten schrijf je n−1 vergelijkingen. De rest van het stelsel vul je aan met spanningswetten voor de onafhankelijke massa's. Neem je toch alle n knooppunten mee, dan krijg je een stelsel dat niet oplosbaar is omdat er een vergelijking dubbel in zit.
8. Een leerling kiest de zin van drie stromen in een netwerk volledig willekeurig en krijgt als antwoord I₁ = 3,0 A, I₂ = −1,5 A en I₃ = 4,5 A. Moet hij opnieuw beginnen? Verklaar, en zeg wat de tekens betekenen.
Toon de uitwerking
Nee, hij is klaar. De gekozen zin is een aanname, geen gegeven. De wiskunde corrigeert die aanname zelf.
Wat de tekens betekenen.
- I₁ = +3,0 A : de stroom loopt in de zin die hij getekend heeft, en is 3,0 A groot.
- I₂ = −1,5 A : de stroom loopt tegen zijn pijl in, en is 1,5 A groot.
- I₃ = +4,5 A : zoals getekend, 4,5 A.
De controle die hij nog wel moet doen. Vul de waarden mét hun teken in de stroomwet in. Klopt die, dan is het antwoord juist:
Het teken is dus informatie, geen fout. Wat hij wél moet doen is bij zijn eindantwoord in woorden zeggen welke kant I₂ werkelijk op loopt — anders staat er een negatieve stroom in zijn verslag, en dat betekent op zichzelf niets.
Precies daarom is de tekenmethode zo bruikbaar bij grote netwerken: je hoeft vooraf niets te weten over de richtingen.
Vooruitblik
Met Kirchhoff kun je elk netwerk aanpakken, ook als herleiden vastloopt. In het laatste onderdeel pas je dat toe op twee klassiekers: de brug van Wheatstone, en de methode om een heel netwerk te vervangen door één bron met één weerstand.